基于MPCK視角下的初中數學概念教學

陳燕梅

概念是數學教學的核心，本文以“權、加權平均數”概念教學為例，從MPCK視角進行評析，并反思與探討提升教師MPCK的策略.

1 MPCK理論

舒爾曼1986年提出PCK理論后，立即引起各國學者關注，從而使數學教師特有的學科教學知識從PCK泛學科的研究中獨立出來，形成MPCK（數學教學內容知識）理論，MPCK理論要求教師必須具備數學學科知識（MK）、一般教學法知識（PK）、有關數學學習的知識（ CK）以及教育技術知識（TK）[1]，才能夠把科學形態的數學知識有效轉化為教育形態的數學知識，促進學生的數學理解，提高學生的數學能力和提升學生的數學素養，而這4類知識的綜合與融合就是數學教學內容知識（MPCK），即數學教師從事數學教學所應具備的核心知識[2].

概念是思維的基本單位，數學概念是導出全部數學定理法則的邏輯基礎，是建立理論系統的中心環節，同時也是解決數學問題的前提，在日常教學中，教師讓學生記憶、理解、題海訓練是概念教學的普遍現象，往往忽視概念的本質，因而學生在運用概念解決問題時常常出現生搬硬套甚至束手無策的現象，基于此，教師在教學中啟發學生建構概念、理解概念的內涵和外延尤為重要，一個具有優秀MPCK的教師會讓學生認識到：數學概念不僅僅具有冰冷的美麗，在形成和應用數學概念的過程中更蘊含著火熱的思考[3].

2 MPCK視角下的概念新授課

2015年底，筆者有幸參加了福建省第三屆教師技能大賽以及全國初中青年數學教師優秀課展示活動，均獲得一等獎，作為經驗交流，筆者在廈門市開了《平均數（1）》市級公開課，這節課受到了專家、老師和學生的認可，從備課到上課，以及評課和課后反思，筆者進一步完善了MPCK.在這里，筆者分享MPCK視角下的教學設計過程與反思.

本節選自義務教育課程標準實驗教科書《數學》（人教版）八年級下冊，是第20章“數據的分析”第1節“數據的集中趨勢”第1課時的內容[4].

2.1 活動1 創設情境，建構概念

設計意圖讓學生感受引入“權”的合理性，理解“權”的意義.

七年級時，我們學習了當收集到數據后，通常是用統計圖表整理和描述數據，為了進一步獲取信息，還需要對數據進行分析，數據分析與我們的生活息息相關.

問題老師根據學生的期中考成績和期末考成績計算學期總評，小明同學期中考60分，期末考90分（百分制）.

（1）你能算出他的平均成績嗎？

追問：如何計算n個數的算術平均數？

（2）若以這個算術平均數作為學期總評，你認為合理嗎？

追問1：為什么不合理？

追問2：如何體現期末考更加重要？

（3）你是怎么算的？為什么這么算？

（4）在這個問題中，3和7（舉例）有什么用？

追問1：什么是“權”？什么是“加權平均數”？

追問2：還有哪些也是權？

（5）如何把這種加權平均數的計算方法推廣到一般情況？

（6）期中考和期末考的分數不變，為何得到不同的總評成績？

評析 活動1是本節的核心內容，教師運用“概念同化”來建構“權”與“加權平均數”的概念，概念同化過程是學生對概念的主動理解過程，是學生利用自己已有認知結構對概念進行重新建構的過程，曹才翰、章建躍在《數學教育心理學》中提出，概念教學得以充分展開的根本原動力是學生已有的認知結構與新概念之間的不平衡，根據皮亞杰的認知發展理論，學生在遇到新概念時，總是先用已有的認知結構去同化，如果獲得成功，就得到暫時的平衡;如果同化不成功，則會調節已有認知結構或重新建立新的認知結構，以順應新概念，從而達到新的平衡，教師應該根據學生概念學習的這種機制，利用新概念與學生已有認知結構之間的差異來設置相應的教學情境，以使學生能夠意識到這種不平衡，從而引起學生的認知需要，促使學生展開積極主動的學習活動，

從MK上看，教師在引入新課時關注本章知識與已有知識的聯系，讓學生明確感受到，在收集數據后，要進一步獲取信息，需通過計算統計量進行分析，數學源于生活，教師用學生熟悉的考試成績計算總評來創設問題情境，通過問題串設計引導學生從已有的認知（算術平均數）中尋找差異，自主建立“權”的概念，問題簡潔易懂，跳出繁雜的計算，激發學生的學習興趣，凸顯統計的意義，

從PK上看，教師通過啟發式的講授引領學生思考，從“權”的存在，到“權”的含義、加權平均數的計算，再反思“權”對結果的影響，新概念逐步浮出水面，在探究加權平均數的計算方法時，教師采用從一般到特殊的思想，啟發學生自主獲得計算公式，

從CK上看，教師在問題（2）環節，鼓勵學生思考，并相互交流、討論，課堂上，當學生回答“合理”時，教師及時引導學生闡述原因，并點撥關鍵點：“同樣重要”;當學生回答“不合理”時，教師進一步追問原因，啟發學生思考如何體現重要性不同，對于學生回答的不同形式的權，教師給予肯定，學生感受到了“權”的存在.

2.2 活動2 例題教學，應用新知

設計意圖從統計圖表中獲取信息，計算算術平均數及加權平均數，進一步理解權的意義，

例1 一次演講比賽中，評委將從演講內容、演講能力、演講效果三個方面為選手打分，各項成績均按百分制計，進入決賽的前兩名選手的單項成績如下表所示：

請根據下列問題分別確定兩人的名次.

（1）按演講內容占50%、演講能力占40%、演講效果占10%，計算選手的綜合成績.

（2）若演講內容、演講能力、演講效果按照1：3：1的比確定，計算選手的綜合成績， 評析從MK上看，教師靈活處理了教材的例題，增加設計第（2）題，設計不同形式、不同數據的權，給予學生計算便利的同時，在對比中識記，鞏固新知，感受權的重要性，

從PK上看，第（1）題由師生共同完成，教師規范書寫解答，為后續學生解題的表達提供良好的示范，教師展示學生的第（2）題的答題情況，并由學生進行點評，

從CK上看，對于第（1）題，教師不是直接讓學生計算，而是設問：“不用計算，聰明的你能否直接推斷出他們哪一個的成績更好？”，鼓勵學生分析、推斷，讓學生對權的作用有更深的體會，在解決問題的過程中，教師引導學生關注以下內容：（1）這兩名選手的平均成績一樣嗎？不同的權對結果有什么影響？ （2）權不是獨立概念，增加技能訓練題，如85的權是多少？40%是誰的權？（3）關注第一問列式中的分母（50%+40%+10%），與前面權的計算公式統一.

2.3 活動3應用遷移，鞏固提高

設計意圖掌握計算加權平均數，進一步理解權的意義，

練習某廣告公司欲招聘職員一名，A，B，C三名候選人的測試成績（百分制）如下表所示：

（1）如果公司招聘的職員分別是網絡維護員、客戶經理或創作總監各一名，給三項成績賦予相同的權合理嗎？

（2）請你設計合理的權重，為公司招聘一名職員：①網絡維護員;②客戶經理;③創作總監，

評析從MK上看，此練習背景源于生活，解決問題的過程中需靈活運用加權平均數，呈現開放題，給予學生思維的空間，

從PK上看，把現代信息技術作為學生學習數學和解決問題的有力工具，學生感受數學現象和數學規律，從而抓住概念本質，領悟概念的內涵和外延，

教師預先設計好Excel表格程序如下：

（說明：教師根據加權平均數的計算公式預先設計好表格，根據學生的回答輸入“權”，直接顯示A、B、C的成績）

從CK上看，教師設置開放性問題，讓學生主動運用“權”影響一組數據的平均水平，幫助學生內化對權意義的理解，發展數據分析的觀念.

2.4 活動4 獨抒已見，說我所得

設計意圖 知識與方法的梳理，進一步理解本節新知識，

問題1：這節課你學了什么知識？有什么感受？

追問1：加權平均數在數據分析中的作用是什么？

追問2：權的作用是什么？

問題2：在這節課中，“權”出現的形式有哪些？

追問：“權”的不同形式之間可以相互轉化嗎？（課后思考）

問題3：我們今天學習的“加權平均數”和以前學習的“算術平均數”都屬于平均數，想一想它們之間有什么區別和聯系？

問題4：數學源于生活，從剛才的學習中，我們知道權與生活息息相關，你還能舉出其他例子嗎？

問題5：關于本節的學習，你還有什么疑問嗎？

評析從MK上看，教師緊扣教材重點難點，從以下幾個方面進行引導歸納：

（1）“權”與實際生活息息相關;

（2）當一組數據中各個數據重要程度不同時，加權平均數能更好地反映這組數據的平均水平;權反映數據的相對重要程度，數據權的改變一般會影響這組數據的平均水平.

（3）如何計算加權平均數，

教師點評功在平時，優秀的人始終是優秀的，只要考核方式合理，他們并不受考核方式的影響，

問題2教師從學生的回答出發，指出百分比的形式有時也以小數或分數的形式出現，當然，體現數據的相對重要程度，不止上述形式，比如下節課將學習“權”出現的另一種形式，建議學生可以提前預習，為新課的學習做下鋪墊，

問題3教師啟發學生議關聯，理頭緒，建構知識體系，在概念獲得的過程中，很重要的是通過概念之間的關系來認識新概念，結果不但使新概念獲得心理意義，而且還使個體對已有的相關概念獲得更加深刻的理解，

從PK上看，教師組織學生小組討論，課堂氣氛濃厚，

從CK上看，教師設置問題，引導學生思考、討論、舉例，課堂教學中，學生暢所欲言，列舉了很多生活中的實例，談及自己的感受，比如有的學生談到中考總分計算的方式（不同學科不同權重），對應于自己的學習，應如何科學合理分配時間才會更加高效;有的學生談到將來自己在參加招聘或招聘員工時，要注意根據崗位需求關注或設置權重等.

3 關于提升教師MPCK的反思

3.1 鉆研教材，力透紙背分析，發展教師MK

在備一堂新課時，教師不但要“逐字逐句”研讀教材，還要“力透紙背”，“精致”地處理教材，從而發展教師的MK.基于此，教師要解讀課標，把握本節的教學目標，確定本節課的重點和難點;遵循學生的認知規律和思維發展水平，巧妙設計新知識的生成過程，并根據學情進行教學內容的增減;挖掘本節課蘊含的數學思想方法，挖掘本節課對學生后續學習最重要的遷移價值，挖掘本節課的教育意義等，

根據教材內容和學生情況，本節學習的主要內容是讓學生在實際生活背景中理解平均數、加權平均數、權的意義;能從統計圖表中獲取信息，計算一組數據的算術平均數以及加權平均數，體會權的作用，教學的關鍵點是引導學生了解權的含義，進而認識加權平均數的統計意義及加權平均數從一個側面反映一組數據的集中趨勢，即平均水平，

統計的教學價值在于發展學生的理性思維，讓人講道理，以理服人，數據分析是統計的重要環節，平均數是衡量一組數據集中趨勢的重要統計量，它反映了一組數據的平均水平，是度量一組數據波動大小的基準，為后續方差的學習奠定基礎.

本節的重點是理解加權平均數的意義，體會權的意義;難點是對“權”的意義的理解，用加權平均數描述數據的集中趨勢.

3.2 實踐課改，體現學生主體，提升教師CK

實踐課改，教師成為學生學習活動的組織者、引導者、合作者，應了解學情，關注學生的認知規律，體現學生的主體地位，提升自我的CK.

八年級的學生思維活躍，對觀察、猜想、探索性的問題充滿好奇，針對學生的心理特征，本課時在“權對于結果的影響”的教學環節，采用讓先學生分析、推斷的探究方式，讓學生感受到探索的樂趣.

本節是數據分析這一章節的起始課，在此之前，學生學習了數據的收集、整理和描述，知道當收集到數據后，通常是用統計圖表整理和描述數據，為了進一步獲取信息，需對數據進行分析，之前學生已經學習了算術平均數，知道它可以反映一組數據的平均水平，但由于生活經驗的局限，同時受認知水平的影響，學生對權的意義和作用的理解可能會有困難，因為缺乏對概念本質的理解，在運用加權平均數分析數據時，容易混淆數據和權，部分學生往往只會記住公式，而不會解釋數據分析結果的實際意義或統計意義，把統計問題的學習僅僅停留在計算層面，基于此，教學中要讓學生感受引入“權”的必要性、凸顯“權”的重要性、揭示“權”的本質性，同時，讓學生了解在現實生活中有許多問題可以通過分析數據作出判斷，體會數據中蘊含著信息;了解對于同樣的數據可以有多種分析的方法，需要根據問題的背景選擇合適的方法，發展數據分析觀念.

3.3 立足目標，導航教學全程，靈活選擇PK

教學目標是一切教學活動的出發點和最終歸宿，以教學目標為基點導航教學全程，靈活選擇PK.

本節的教學目標為：（1）理解平均數、加權平均數、權的意義;（2）能從統計圖表中獲取信息，計算一組數據的算術平均數以及加權平均數;（3）學生通過加權平均數分析一組數據的集中趨勢，發展數據分析能力，逐步形成數據分析觀念;（4）在課堂互動中鼓勵學生積極參與數學活動，對數學有好奇心和求知欲;進一步培養學生獨立思考、合作交流、反思質疑等學習習慣，在對“權”統計意義理解的基礎上，滲透公平公正、實事求是的價值觀，

圍繞著教學目標，細化到每一個教學環節，靈活選擇PK.教師進行啟發性的講授，設計層層遞進的問題引領學生思考;設計實效的例題習題，學生對于新知學習理解掌握，遷移應用.

這節概念課雖是高效率、有意義的，但仍然存在不足，雖是公開課，然而教師沒有提前試講，熟練程度還可以更好一些，每一次的公開課，都是教師教學技能往前邁進的重要平臺，教師對數學知識的自覺追問、不斷反思是優化MPCK的重要途徑，最終實現數學知識向高效課堂的有效轉化.

參考文獻

[1]李渺，寧連華.數學教學內容知識（ MPCK）的構成成分表現形式及其意義[J].數學教育學報，2011 （2）： 10-14

[2]黃毅英，許世紅，數學教學內容知識結構特征與研發舉例[J].數學教育學報，2009， 18 （1）：5—9

[3]彭紅亮.MPCK視角下的數學概念教學[J].數學通訊，2014 （7）： 84-87

[4]課程教材研究所、中學數學課程教材研究開發中心.義務教育課程標準試驗教科書（數學）八年級下冊[M].北京：人民教育出版社，2013