芻議數學運算素養的培養

汪秀琴 蔡敬發

從歷次考試情況看，學生由于運算錯誤或運算障礙導致丟分的情況經常可見，而且層次越低的學校表現越為突出，許多教師雖然知道學生的運算能力差，卻不夠重視，沒有采取針對性的措施，而是把希望寄托在學生的自我提升上，從而導致學生對數學運算的輕視和運算能力的不斷下降，從這個層面上說，學生數學運算能力差，是一個老生常談的話題，更是一個“歷史遺留問題”.

1 調查分析，找出數學運算的“問題點”

筆者曾對本市、區各類學校高中生的數學運算素養現狀及其成因進行調查分析，概括起來主要有以下3個方面的問題：（1）數學運算能力低下，由運算錯誤或運算障礙導致丟分較多的學生占一半以上，在數學運算能力較低的學生中，基礎知識不扎實和學習習慣不好是導致其數學運算能力低下的主要原因;（2）學生的基礎知識和基本技能的掌握十分令人擔憂，且學生的學習方法、學習習慣和解題習慣還有待大大改進;（3）教師的課堂教學普遍“重方法，輕運算”，運算教學中“搶拍、替代、一帶而過”現象隨處可見，

由此可見，學生的數學運算能力和運算素養低下是普遍存在的事實，教師的教學行為和學生的學習行為是影響數學運算素養培養的首要因素，而教師的教學行為又直接影響學生的學習行為，因此，數學運算素養培養的著眼點在于教師教學行為的改變，為此在教學中，數學教師要樹立以發展學生數學運算素養為導向的教學意識，將數學運算素養的培育落實在數學教學的各個環節[1].以下筆者從教學設計、課堂教學和作業設計三個環節闡述數學運算素養的培養.

2 精心設計，探尋數學運算的“培育點”

教學設計既是課堂教學的“開路先鋒”，更是課堂教學的“總設計師”，它不僅僅是寫好教案，更重要的是從更高的層面理解數學、理解學生、理解教學，以便更好地結合具體教學內容探尋數學運算素養的孕育點，以及其融入教學內容和教學過程的具體方式和載體，并根據學生的特點進行充分預設，從而切實提高數學運算素養培養的可行性.

2.1 從教學目標處探尋數學運算“融合點”

要改變和逆轉目前運算教學中這種被動尷尬的局面，首先數學教師應重視數學運算素養的培養，要將數學運算素養要求融入課堂教學目標，探尋它與具體教學內容的關聯點和融合點，基于課程主線，整體考慮數學運算素養的培養，例如：概念課中的“函數、平面向量、復數”可以培養學生的數學抽象、數學運算和邏輯推理等素養，而“三角、解幾、立幾”部分則可以培養學生的直觀想象、數學運算和邏輯推理等素養;定理課中的“三角基本公式定理、數列、概率統計”等可以培養學生的數學運算、數學抽象、數據分析、邏輯推理和數學建模等素養，總之，教學設計首先應解決“教什么”的問題.

2.2 從載體方式上探尋數學運算“孕育點”

教學設計不僅應解決“教什么”的問題，還要解決“怎么教”的問題，章建躍教授認為：數學核心素養的形成是以數學知識為載體，以數學活動為路徑而逐步實現的[2].因此，以什么為載體、構建什么樣的數學活動是落實運算素養的關鍵，為此在設計教學時，首先應在學生的需要和思維價值處設計教學，充分考慮新知識怎么呈現，問題怎么設置，例題如何配備;其次教學方式應以探究為手段、以活動為路徑、以體驗為抓手，把教學活動的重心放在促進學生學習和四基的落實上，以“探究”催生知識能力、以“過程”沉淀經驗方法，以“探究、過程”促學生思維品質的提升和學習行為的改變，從而真正促進其數學運算素養的發展.

例如在定理教學中，在定理獲得階段，應根據定理特點和學生實際選擇恰當的定理獲得方式，或“同化”或“形成”，使學生在定理獲得階段準確理解運算對象、深層次掌握運算法則、多角度探究運算方向，比如：

在新公式的推導上，因為此處是學生的困難點，因此筆者認為宜通過設置問題串、借助啟發性提示語，暗示方法、啟迪思維，使學生逐漸明確運算方向——建立平面直角坐標系，恰當設立點坐標，溝通新學知識“任意角三角函數定義”與舊知“平面向量”的聯系，打通推理證明的“通道”一借助數量積推導新公式.

這樣設計的目的，是為了設置一個與學生的已有認知結構相矛盾的問題，營造“知識缺口”，以形成學生“欲知未知”的憤悱狀態，激發學生的求知欲，產生積極的學習心向，并且這也是教學實踐中學生的典型錯誤，它能加深公式的印象，有助于運算法則的掌握;在公式的推導過程中，通過啟發引導，使學生逐漸明晰運算方向，合理選擇運算方法，，把握知識間的本質聯系，實現新知識的意義構建.

3 互動課堂，創造數學運算的“生長點”

課堂是實驗室，教師是“操盤手”，教師的課堂教學行為是數學運算素養能否落地生根的首要因素，為此，教師應在課前充分預設的基礎上，努力創造學生的精彩生成，筆者認為，運算素養的培養關鍵在于“做中學”、“做中悟”[3].這就要求教師在課堂教學中，首先應善于根據具體教學要求和學生實際創設合適的情境，使學生經歷其中，把握知識本質，感悟思想方法，積累基本經驗[1];其次要合理設計問題串，突出問題的啟發性、層次性和導向性，通過問題層層導向，使學生不斷地處于“欲知未知、欲言未能”的憤悱狀態，通過啟發性提示語，暗示方法，啟迪思維，不斷將學生的思維引向深處，從而幫助學生不斷實現“從無到有、從不知到知”，最終使學生在學習新知識的過程中，養成良好習慣，提升運算能力;再次要體現課堂教學的過程性和探究性，特別應加強“如何思考”、“如何發現”的啟發和引導，從提升學生思維品質處設計教學，將思維的提升作為運算素養培養的基石扎實開展，并盡量沿著學生的思維軌道展開教學，“想學生所想、急學生所急”，避免“搶拍、替代和一帶而過”現象的發生，讓數學知識來的更自然些，讓能力素養來的更順暢些.

此外，應從提升學生數學思維品質處展開教學，因此在課堂教學中，教師首先應該提供平臺讓學生學會全方位選擇運算方法，培養其數學思維的嚴謹性;其次應該引導學生深層次掌握運算法則，培養其數學思維的深刻性;再次應該啟發學生多角度探究運算方向，培養其思維的廣闊性[3];最后應該適當設障促使學生多方位求得運算結果，培養其思維的靈活性，例如：

教學片段 兩角和與差的余弦公式教學片段[4]（公式應用環節）

本環節設計意圖 由于三角函數公式繁多，學生易混易忘，公式應用總有諸多不暢，其主要原因是學生不會抓住問題的主要矛盾，導致題意不清、方向不明、程序繁雜、運算出錯，解決以上問題的關鍵是讓學生親歷其中，教學生學會充分挖掘題目信息，抓住問題中信息之間的主要矛盾（即“主視點”）和本質聯系，從多元視角出發，分析差距，尋找聯系，促成有效轉化，通過邏輯證明加以貫通，串點成線，探尋簡捷合理的運算路徑[5]，優化運算程序，準確運算結果，將運算素養扎實地落實在課堂.

主要過程引導學生觀察己知角和待求角的關系，促成轉化如下：

感悟提升 配湊角時不要“破壞”已知角，而是把已知角看作一個“整體”，促成待求角的有效轉化，其核心是“化未知為已知”.

（2）以“函數名”為主視點，選擇運算方法

引導學生著重觀察分析已知式和待求式三角函數名的差異，尋找其聯系，促成有效轉化，其手段通常是弦切互化，并且常與三角基本公式、角的轉化相結合解決問題.

主要過程引導學生分析已知式和待求式的結構特征差異——缺少cosαcosβ，sinαsinβ，尋找聯系，使學生逐漸明晰運算方向，必須創造條件，想辦法讓已知式“生出”cosαcosβ，sinαsinβ，啟發學生恰當選擇運算方法——將已知兩等式兩邊分別平方，相加并結合平方關系進而貼近待求式，再逆用余弦函數差角公式求得結果，從而達到優化運算程序、準確運算結果的目的.

4 優化作業，落實數學運算的“訓練點”

作業是課堂教學的延伸和補充，然而在現實作業布置中，不匹配作業和低效作業現象比比皆是，嚴重影響課堂教學的效果和學生素養水平的達成，因此，作業設計，首先考慮及時性和針對性，深層次掌握運算法則;其次應考慮典型性和多樣性，全方位選擇運算方法;再次應考慮梯度性和層次性，多角度探究運算方向;最后應考慮建構性和系統性[6]，整體考慮運算素養的培養，使課后作業真正成為落實運算素養的后勤保障.

總之，只要教師努力改進自己的教學行為，將數學運算素養的落實變成自己的自覺行動，以優化的教學行為帶動學生學習行為的優化，課前充分預設、課中創造生成、課后優化作業，就能讓運算素養落地生根.

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準[S].北京：人民教育出版社，2018

[2]章建躍.三角函數教材落實核心素養的思考[J].中小學數學（高中版），2016 （12）： 25

[3]陳玉娟.例談高中數學核心素養的培養——從課堂教學中數學運算的維度[J].數學通報，2016 （8）： 34-36，54

[4]汪秀琴.例題邏輯推理核心素養的培養[J].福建中學數學，2017 （6）：20

[5]陳玉娟.從探尋運算思路的角度例談數學運算核心素養的培養[J].數學通訊，2016 （24）： 32-34

[6]汪秀琴.累，一定是我們做錯了什么——基于作業設計的高三數學教學有效性探究[J].福建中學數學，2016 （6）： 20