動態(tài)維修成本下的非周期預(yù)防性維修決策模型*

張青山，王 舟

(沈陽工業(yè)大學(xué) 管理學(xué)院， 沈陽 110870)

設(shè)備維修一直是制造業(yè)企業(yè)關(guān)注的問題。預(yù)防性維修是設(shè)備維修領(lǐng)域持續(xù)研究的熱點，制定合理的預(yù)防性維修策略可以有效降低設(shè)備的維修成本，減少不必要的故障損失。用可靠度來評價設(shè)備的運行性能，可以保證設(shè)備在生產(chǎn)過程中的安全性。設(shè)備的可靠度與設(shè)備的運行時間和維修策略有關(guān)。甘婕等[1]采用CBM策略，引入設(shè)備性能可靠度為約束，決策變量為檢測周期預(yù)防性維修閾值，以設(shè)備的長期平均維修費用率最小為目標(biāo)構(gòu)建預(yù)防維修決策模型；趙斐等[2-8]運用更新及可靠性理論，對設(shè)備的可靠性及設(shè)備的維修成本進(jìn)行系統(tǒng)的分析，并構(gòu)建了周期性預(yù)防維修策略經(jīng)濟(jì)優(yōu)化模型；宋之杰等[9]考慮了預(yù)防性維修成本動態(tài)性特點，以設(shè)備可用度為約束，構(gòu)建了等周期預(yù)防性維修經(jīng)濟(jì)優(yōu)化模型；石慧等[10]以平均剩余壽命為閾值，建立了以平均維修費用最小化為目標(biāo)的預(yù)防性維修決策模型，并采用微粒群算法對模型進(jìn)行優(yōu)化求解。

但是，由于預(yù)防性維修是不完備維修，它不能使設(shè)備恢復(fù)如新。在實際生產(chǎn)中，隨著設(shè)備運行時間變長，其故障率會變高，因此需要對設(shè)備進(jìn)行越來越頻繁的維修，即設(shè)備的維修間隔期應(yīng)該越來越短。目前，有許多學(xué)者對非周期預(yù)防性不完全維修進(jìn)行研究：張斌等[11]引入役齡回退因子，構(gòu)建了有限時間內(nèi)的預(yù)防性維修決策模型；蓋京波等[12]在有限使用時間區(qū)間內(nèi)，從設(shè)備維修成本和可靠性兩個方面建立了非周期預(yù)防性維修優(yōu)化模型；Ahmad等[13-14]分別基于設(shè)備的可靠性及維修成本建立非周期預(yù)防維修優(yōu)化決策模型，并給出了求解算法；魏永合等[15]在更新過程理論的基礎(chǔ)上，以設(shè)備的預(yù)防性維修閾值和維修間隔期為決策變量，以設(shè)備可用度最大和平均費用最小為目標(biāo)，建立預(yù)防性維修決策模型，并通過人群搜索算法求解。

如上述文獻(xiàn)所述，經(jīng)濟(jì)性、可靠性及設(shè)備的有效性是研究設(shè)備維修必須考慮的問題。王靈芝等[16]以設(shè)備的維修成本最小化及設(shè)備有效度最大化為目標(biāo)建立了非周期預(yù)防性維修決策模型，但是沒有考慮到設(shè)備維修成本的動態(tài)性。本文根據(jù)設(shè)備的實際情況，既考慮了預(yù)防性維修成本隨設(shè)備運行時間及維修次數(shù)的變化而發(fā)生改變的動態(tài)性特點，又考慮了設(shè)備有效度的問題，以設(shè)備有效度及可靠度為約束條件，以總維修成本率最小化為目標(biāo)，建立了非周期預(yù)防性維修優(yōu)化模型，并給出了求解步驟，以得到設(shè)備總成本率最小化的最優(yōu)維修決策。

一、問題描述

1. 模型符號說明

模型符號說明如表1所示。

表1 模型參數(shù)

2. 模型假設(shè)

(1) 在設(shè)備生命周期內(nèi)對設(shè)備實行非周期預(yù)防性維修策略，當(dāng)設(shè)備在預(yù)防性維修間隔期內(nèi)發(fā)生非預(yù)期故障，則采用最小維修的方式對設(shè)備進(jìn)行維修，假設(shè)每次小修的維修費用及所需時間固定，并且小修不改變設(shè)備的故障率；

(2) 設(shè)備系統(tǒng)為退化系統(tǒng)，設(shè)備的故障率會隨著設(shè)備運行時間的增加而增加；

(3) 設(shè)備預(yù)防性更換的成本固定；

(4) 設(shè)備在生產(chǎn)過程中是沒有生產(chǎn)停歇的。

3. 問題描述

設(shè)備的可靠性、有效度及維修的經(jīng)濟(jì)性是設(shè)備維修必須考慮的因素，同時如何整合協(xié)調(diào)這三大因素也是制定出最優(yōu)維修決策的關(guān)鍵。設(shè)備在其生命周期T內(nèi)的預(yù)防性維修過程如圖1所示。

圖1 設(shè)備在其生命周期內(nèi)的維修策略

設(shè)備的生命周期長度為T，Ti為設(shè)備第i個預(yù)防性維修間隔期，其中0

本文考慮設(shè)備生命周期內(nèi)的維修費用包括預(yù)防性維修費用、非預(yù)期故障的小修費用、預(yù)防性更換的費用以及由于維修造成的設(shè)備停機(jī)損失成本。以設(shè)備動態(tài)維修成本率最小為目標(biāo)，以設(shè)備有效度及設(shè)備可靠度為約束條件，建立了非周期預(yù)防性維修決策模型，給出了模型求解步驟及方法，可以得到最優(yōu)的維修次數(shù)。

二、預(yù)防性維修模型建立

1. 確定設(shè)備的故障率及維修間隔期

(1) 確定設(shè)備的故障率。本文主要結(jié)合役齡回退因子和故障率遞增因子確定設(shè)備的故障率函數(shù)。預(yù)防性維修前后設(shè)備的故障率函數(shù)為

λi+1(t)=θiλi(t+δiTi)t∈(0，Ti+1)

(1)

式中：i為預(yù)防性維修次數(shù)，i=1，2，…，N；λi(t)為設(shè)備進(jìn)行第i次預(yù)防性維修前設(shè)備的故障率分布函數(shù)；λ0(t)為設(shè)備初始的故障率分布函數(shù)；θi為故障率遞增因子，θi>1，其取值可根據(jù)設(shè)備運行的歷史數(shù)據(jù)結(jié)合實際情況確定；δi為役齡回退因子，0<δi<1。

δi的取值為

(2)

式中：a為設(shè)備維修成本調(diào)節(jié)系數(shù)；τ為時間調(diào)節(jié)系數(shù)；σ為學(xué)習(xí)效應(yīng)調(diào)節(jié)系數(shù)，σ=lnψ/ln 2，ψ是由專家根據(jù)經(jīng)驗判斷或估計給出的經(jīng)驗曲線百分率。

(2) 確定設(shè)備的維修間隔期。本文中設(shè)備預(yù)防性維修間隔期是根據(jù)設(shè)備部件的可靠性來確定的。首先根據(jù)設(shè)備的特性需要預(yù)先設(shè)定設(shè)備的可靠度閾值R，當(dāng)設(shè)備的可靠度達(dá)到預(yù)先設(shè)定的可靠度閾值R時，對設(shè)備采取預(yù)防性維修的方式。

根據(jù)設(shè)備的可靠性函數(shù)

(3)

當(dāng)設(shè)備達(dá)到其可靠度閾值時有

(4)

可將式(4)改寫為

(5)

聯(lián)立式(1)和式(5)從而得到設(shè)備的維修間隔時間Ti，其中i=1，2，…，N+1。

2. 確定設(shè)備的有效役齡

設(shè)備經(jīng)過預(yù)防性維修會使其役齡變小，役齡回退與設(shè)備的預(yù)防性維修次數(shù)和預(yù)防性維修效果有關(guān)。

第1次預(yù)防性維修前后的有效役齡為

(6)

第2次預(yù)防性維修前后的有效役齡為

依此類推，可以得到設(shè)備第i次預(yù)防性維修前后的有效役齡為

如圖2所示，通過分析可知設(shè)備第i個預(yù)防性維修間隔期內(nèi)的有效役齡為

(11)

圖2 設(shè)備在其生命周期內(nèi)的役齡變化

設(shè)備在第i個預(yù)防性維修間隔期內(nèi)出現(xiàn)非預(yù)期故障的次數(shù)為

(12)

3. 確定設(shè)備的動態(tài)維修成本

(1) 非預(yù)期故障的維修。假設(shè)設(shè)備在預(yù)防性維修間隔期內(nèi)出現(xiàn)非預(yù)期故障采用最小維修的方式進(jìn)行維修，設(shè)定一次非預(yù)期故障小修成本為Cm，一次小修的維修時間為tm，則第i個維修間隔期Ti內(nèi)的小修費用為

Cmi=Cmni

(13)

在設(shè)備生命周期內(nèi)總小修費用

(14)

設(shè)備生命周期內(nèi)小修所需的總時間為

(15)

(2) 非周期預(yù)防性維修。根據(jù)實際情況，當(dāng)設(shè)備達(dá)到可靠度閾值時對設(shè)備采取非周期預(yù)防性維修，考慮到設(shè)備預(yù)防性維修成本是動態(tài)的，因此設(shè)備第i次預(yù)防性維修的費用為

Cpmi=Cf+iCv

(16)

式中：Cf為設(shè)備預(yù)防性維修的固定成本；Cv為預(yù)防性維修的可變成本。

設(shè)備在其生命周期內(nèi)總預(yù)防性維修費用為

(17)

第i次預(yù)防性維修所需時間為

tpmi=τiTi

(18)

設(shè)備在其生命周期內(nèi)總的預(yù)防性維修所需時間為

(19)

式中，τ為預(yù)防性維修的時間調(diào)節(jié)系數(shù)，表示隨著運行時間越來越長，設(shè)備經(jīng)過不斷的磨損使得每次預(yù)防性維修的時間越來越長。

(3) 設(shè)備預(yù)防性更換成本。設(shè)備更換成本為Cpr，設(shè)備更換時間為Tpr。

(4) 停機(jī)損失成本。設(shè)備在前i個預(yù)防維修間隔期內(nèi)總的停機(jī)時間為

(20)

設(shè)備在其生命周期內(nèi)的總停機(jī)時間為

(21)

設(shè)備在生命周期內(nèi)總的停機(jī)成本為

TCpark=Cpark/hTpark

(22)

設(shè)備在生命周期內(nèi)總的維修成本為

C= TCm+TCpm+Cpr+TCpark=

Cpr+Cpark/hTpark=

Cpark/hTpr+Cpr

(23)

4. 設(shè)備有效度確定

設(shè)備的有效度是指設(shè)備在其生命周期內(nèi)處于可使用狀態(tài)的概率，設(shè)備的有效度為

(24)

即

(25)

5. 動態(tài)維修成本非周期預(yù)防性維修優(yōu)化模型的建立

以動態(tài)維修成本最小為優(yōu)化目標(biāo)，以設(shè)備的有效度及設(shè)備的可靠度為約束條件建立預(yù)防性維修決策模型，模型為

(26)

三、模型求解

(1) 根據(jù)設(shè)備的運行數(shù)據(jù)分析確定故障率遞增因子δi，根據(jù)式(2)確定設(shè)備的役齡回退因子，最后根據(jù)式(1)計算出設(shè)備的故障率。

(2) 判斷設(shè)備的可靠度是否達(dá)到其可靠度閾值R，當(dāng)達(dá)到閾值R時對設(shè)備進(jìn)行預(yù)防性維修。聯(lián)立式(1)和式(5)可以得到設(shè)備的預(yù)防性維修間隔期Ti。

(3) 根據(jù)將步驟(2)計算出的預(yù)防性維修間隔期Ti代入式(11)，計算出設(shè)備在第i個預(yù)防性維修間隔期內(nèi)的有效役齡Li，根據(jù)式(12)計算出設(shè)備在其第i個預(yù)防性維修間隔期內(nèi)出現(xiàn)非預(yù)期故障的次數(shù)ni。

(4) 計算出設(shè)備在其生命周期內(nèi)的動態(tài)維修成本。根據(jù)式(14)及式(15)計算出設(shè)備在其生命周期內(nèi)總小修成本TCm及小修所需總時間Tm；根據(jù)式(17)及式(19)計算出設(shè)備在其生命周期內(nèi)進(jìn)行預(yù)防性維修總費用TCpm及維修時間Tpm；根據(jù)式(21)及式(22)計算出設(shè)備在其生命周期內(nèi)的總停機(jī)時間Tpark及停機(jī)成本TCpark；最后根據(jù)式(23)計算出設(shè)備在其生命周期內(nèi)總的維修成本C。

(5) 根據(jù)設(shè)備實際情況確定設(shè)備的有效度閾值A(chǔ)0，并根據(jù)式(25)計算出設(shè)備的有效度A。

(6) 不斷改變設(shè)備的有效度閾值A(chǔ)0及設(shè)備的可靠度閾值R，重復(fù)步驟(1)～(5)，運用MATLAB中的Fmincon函數(shù)計算非線性不等式(26)的約束最優(yōu)化求解問題，最終找到一個最優(yōu)的維修策略組合，達(dá)到使設(shè)備在其生命周期內(nèi)總的維修成本率最小的目的。

四、結(jié) 語

考慮到設(shè)備運行的實際情況，即隨著設(shè)備運行間的增加故障率越來越高、維修頻率越來越高，同時考慮到預(yù)防性維修成本的動態(tài)特點，即隨著設(shè)備維修次數(shù)的增加維修成本也不斷增加，本文研究分析了設(shè)備的動態(tài)維修成本及非周期預(yù)防性維修，并建立了基于動態(tài)維修成本的非周期預(yù)防性維修決策模型。

本文綜合考慮了設(shè)備預(yù)防性維修的動態(tài)維修成本，將小修所需成本及因維修造成的停機(jī)損失考慮進(jìn)去，對維修成本考慮得更加全面。本文提出的預(yù)防性維修決策模型具有重要的理論意義和現(xiàn)實指導(dǎo)作用，應(yīng)用該模型得到的預(yù)防性維修決策方案可以為確定生產(chǎn)設(shè)備的維修間隔期和最佳維修次數(shù)提供依據(jù)。