小小坐標(biāo)系，發(fā)揮大作用

陳衛(wèi)東

數(shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)的整體，它的各個(gè)部分之間存在概念的親緣關(guān)系.我們在學(xué)習(xí)每一分支時(shí)，注意知識之間橫向聯(lián)系，換個(gè)角度看問題，也許可以使問題簡單化，起到事半功倍的效果.許多看似與解析幾何無關(guān)的問題，常需借助直角坐標(biāo)系來解決，但很多同學(xué)卻想不起來，因而如何想到并合理建系，讓解析幾何的思想方法深入內(nèi)心，則是遇到此類問題時(shí)先要解決的，而且是至關(guān)重要的.看過下面幾道典型例題，你一定會悟出許多道理來.

例1滿足條件的△ABC面積的最大值是________.

分析1我們可以采用解三角形與求函數(shù)最值的辦法.設(shè)BC＝x，根據(jù)面積公式用x和sinB表示出三角形，再利用余弦定理用x表示sinB，得到面積關(guān)于x的函數(shù)，再根據(jù)x的范圍，求出面積的最大值.此法運(yùn)算量很大，未接觸到問題的本質(zhì).

分析2由題知條件AB為定值，△ABC的面積大小取決于AB邊上的高，也即需要探究動頂點(diǎn)C的運(yùn)動變化情況，尤其是C點(diǎn)在何處時(shí)位置最高.點(diǎn)C滿足條件，它的位置怎樣變化？如果能確定頂點(diǎn)C運(yùn)動的軌跡，面積問題就可以從“形”的角度解決.而點(diǎn)的軌跡，常用解析幾何的方法求出其方程.這道題想到建立坐標(biāo)系求解的同學(xué)并不多，原因在于就題論題，未做深入審題和動態(tài)分析，沒有弄清問題的本質(zhì)是求AB上的高的最大值，將問題歸結(jié)為求C點(diǎn)的軌跡方程問題.那么，如何建立直角坐標(biāo)系使得后續(xù)解題最簡潔呢？實(shí)際上，相當(dāng)于先畫出直角坐標(biāo)系x Oy，然后將△ABC在平面內(nèi)移動.由于線段AB的長度為定值，相當(dāng)于確定了兩個(gè)定點(diǎn)，故可以考慮將AB所在直線與x軸重合，這樣yA，yB都為0，解答的時(shí)候可以大大降低運(yùn)算量.以A點(diǎn)作為原點(diǎn)還是B點(diǎn)作為原點(diǎn)呢？或者以AB中點(diǎn)為原點(diǎn)？同學(xué)們可以思考下有何不同.

略解以AB所在的直線為x軸，AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系x Oy，則A（-1，0），B（1，0）.設(shè)C（x，y），根據(jù)得，整理得點(diǎn)的軌跡為圓心在x軸上，為半徑，去除A，B以外的圓.△ABC可以看做AB為底，C點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對值為高，要使△ABC的面積最大，則需有最大值，從而求出△ABC面積的最大值為.

點(diǎn)評建立直角坐標(biāo)系處理此問題要比“常規(guī)方法”簡單明了.重要的是善于從圖形的運(yùn)動變化中加以考察分析，有了軌跡及其方程的意識，就容易想到建立坐標(biāo)系了；另外也要掌握建系的一些小竅門，本題中“以AB所在的直線為x軸”是關(guān)鍵，所取的原點(diǎn)不同，會使得得到的軌跡方程不一樣，但是圓的半徑是固定的，的最大值也是相同的.

例2已知a，b是單位向量，a·b＝0.若向量c滿足｜c(diǎn)-a-b｜＝1，則｜c(diǎn)｜的最大值為________.

分析注意到條件是兩個(gè)垂直的單位向量，；或者考慮建立直角坐標(biāo)系，把條件｜c(diǎn)-a-b｜＝1坐標(biāo)化得到c終點(diǎn)的軌跡，從而求出c模的最大值.

圖1

解析建立如圖1所示的直角坐標(biāo)系，可設(shè)，，.

由｜c(diǎn)-a-b｜＝1得（x-1）2+（y-1）2＝1，即點(diǎn)C（x，y）的軌跡是以M（1，1）為圓心，1為半徑的圓.

所以｜c(diǎn)｜的最大值為.

點(diǎn)評平面向量中有關(guān)最值問題的求解通常有兩種思路：一是“形化”，即利用平面向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問題，二是“數(shù)化”，即建立坐標(biāo)系利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)、不等式、方程等方面問題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關(guān)知識來解決.本題采用了“形化”與“數(shù)化”的結(jié)合，利用坐標(biāo)運(yùn)算將問題轉(zhuǎn)化為圓的知識解決.本題由于得知a，b是兩個(gè)垂直的單位向量，故建立直角坐標(biāo)系可謂水到渠成，可見熟悉一些方便建系的基本特征也有利于我們構(gòu)建解題思路.

例3如圖2，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點(diǎn).

圖2

（1）證明：AE⊥PD；

（2）若H為PD上的動點(diǎn)，EH與平面PAD所成最大角的正切值為，求二面角E-AF-C的余弦值.

分析第一問轉(zhuǎn)化為證明線面垂直；第二問根據(jù)EH與平面PAD所成最大角的正切值為可以找出四棱錐的底面邊長和高之間的關(guān)系.立體幾何問題中，空間坐標(biāo)系往往能發(fā)揮出巨大的能量，關(guān)鍵是如何建立合理的坐標(biāo)系.考慮到AE，AD，AP兩兩垂直這一顯著特征，可以這三條邊為坐標(biāo)軸建立空間坐標(biāo)系，利用空間向量的方法來解決.

解（1）證明略.

（2）設(shè)AB＝2，H為PD上任意一點(diǎn)，連結(jié)A H，EH，如圖3.

圖3

由（1）知AE⊥平面PAD，則∠EH A為E H與平面PAD所成的角.

在Rt△EA H中，，所以當(dāng)A H最短時(shí)，∠EH A最大，即當(dāng)A H⊥PD時(shí)，∠E H A最大.此時(shí)，因此.又AD＝2，所以∠AD H＝45°，所以PA＝2.

圖4

由 （1）知AE，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算可得所求二面角的余弦值為.（具體解答過程請同學(xué)們補(bǔ)齊）

點(diǎn)評立體幾何問題中，求二面角的三角函數(shù)值較為常見，關(guān)鍵是找出這個(gè)二面角，而首要的便是合理地建系.只有建立最合理的坐標(biāo)系，才有可能直奔主題、少走彎路.三條線段兩兩垂直是空間坐標(biāo)系的顯著特征，應(yīng)成為我們建系的首選.