用正弦定理研究滿足“邊邊角”條件的兩個三角形何時全等

甘志國

(北京市豐臺二中 100071)

一、判定定理

眾所周知，滿足“邊邊角”條件(有兩邊和其中一邊的對角分別對應相等)的兩個三角形不一定全等，但有以下結論成立：

定理 有兩邊和其中一邊的對角分別對應相等，且這兩邊中另一邊的對角之和不為平角的兩個三角形全等(簡記為“SSA，B+B′≠180°”).

已知：如圖1所示，在△ABC與△A′B′C′中，AB=A′B′,BC=B′C′,∠C=∠C′,∠A+∠A′≠180°.

求證：△ABC≌△A′B′C′.

證明 由正弦定理，可得

再由題設，可得sinA=sinA′，所以∠A=∠A′或∠A+∠A′=180°.

再由題設∠A+∠A′≠180°，可得∠A=∠A′.

進而可得△ABC≌△A′B′C′(AAS).

推論 有兩邊和其中一邊的對角分別對應相等的兩個三角形不全等的充要條件是這兩邊中另一邊的對角之和為平角且另一邊的對角不全為直角.

推論的意義即：如圖1所示，在△ABC與△A′B′C′中，若AB=A′B′,BC=B′C′,∠C=∠C′，則△ABC與△A′B′C′不全等的充要條件是∠A+∠A′=180°且∠A≠90°.

二、判定定理的應用

題1 求證：等腰三角形的判定定理(等角對等邊).

已知：在△ABC中，∠B=∠C.求證：AB=AC.

證法1 如圖2所示，作∠BAC的平分線AD交BC于D.

可得△ABD≌△ACD，所以AB=AC.

證法2 如圖2所示，作AD⊥BC于D，可得△ABD≌△ACD，所以AB=AC.

證法3 如圖2所示，設邊BC的中點是D，連結AD.

由定理可得△ABD≌△ACD，所以AB=AC.

證法4 如圖2所示，作AD⊥BC于D，由∠B=∠C,得∠BAD=∠CAD.可得△ABC≌△ACB(ASA)，所以AB=AC.

題2 已知：如圖3所示，AD是△ABC的角平分線也是中線. 求證：AB=AC.

證明 由∠B+∠C<180°及定理，可得△ABD≌△ACD，所以AB=AC.

注 可證“兩線合一推等腰”，但較難的是題2的結論.

題3 已知：如圖4所示，點D,E均在△ABC的邊BC上，AB=AC,AD=AE.求證：BD=CE.

證明 在△ABC中，由AB=AC，可得∠B=∠C.

由∠1+∠2<180°，可得∠3+∠4>180°.

再由定理可得△ABD≌△ACE，所以BD=CE.

題4 已知：如圖5所示，AB=AC，△ABC的兩條中線BD,CE交于點O.求證：點O在∠BAC的平分線上.

證明 可得△ABD≌△ACE，所以∠1=∠2.

又由∠BOC<180°，可得∠AOB+∠AOC=360°-∠BOC>180°.

再由定理可得△AOB≌△AOC，進而可得點O在∠BAC的平分線上.

三、一道反例的構造

題5 求作一個凸四邊形，使其有一組對邊相等且有一組對角相等，但這個凸四邊形不是平行四邊形.

分析 如圖6所示，要求凸四邊形ABCD不是平行四邊形，就是要求滿足“邊邊角”的兩個三角形(△ABD與△CDB)不全等.

由推論可得，其充要條件是∠1+∠2=180°且(∠1<90°或∠2<90°).

可不妨設∠1<90°,∠2>90°.在△CDB中，可得DC>DB，所以AB>DB.

又由∠ABC=∠2+∠3=180°-∠1+∠3<180°，可得∠1>∠3,AB>AD.

所以AB是△ABD的最大邊，進而可得△ABD是銳角三角形.

從而可得如下：

作法1 (1)如圖6所示，作銳角△ABD，且AB>DB,AB>AD.

(2)在△ABD外作∠DBE=180°-∠ADB.

(3)以點D為圓心，AB為半徑作弧交射線BE于點C(因為可證得DC>DB，所以點C是唯一存在的).

(4)連結DC.

四邊形ABCD就是凸四邊形ABCD.

證明 只需證明∠ABC<180°,∠ADC<180°,∠A=∠BCD.

由AB>AD，可得∠1>∠3，即180°-∠2>∠3，所以∠ABC=∠2+∠3<180°.

由∠2>90°，可得∠2>∠4，即180°-∠1>∠4，所以∠ADC=∠1+∠4<180°.

由正弦定理，可得

sinA=sin∠BCD.

又由∠A,∠BCD都是銳角，可得∠A=∠BCD.