一個習題“定理”及應用：摩擦力做功的等效性

楊天才

(重慶市第三十七中學校 400084)

推導 如圖1，質(zhì)量為m的物體沿傾角為θ的粗糙斜面AB下滑，相同的物體沿粗糙的水平面OB運動(已知斜面和水平面的摩擦因數(shù)處處相同)，兩種情況下摩擦力做的功的大小分別為：

結(jié)論 若摩擦因數(shù)相同，物體沿斜面(AB段或AC段)運動摩擦力做的功等效于物體沿其水平面投影(OB段或OC′段)運動摩擦力做的功.與物體質(zhì)量、物體所受摩擦力、斜面傾角、位移大小、高度大小、物體的運動狀態(tài)等其他物理量無關.若帶電物體受到恒定向下的電場力作用，該結(jié)論仍然成立.

結(jié)論的應用

例1 試證明：如圖2所示，物體由斜面上高為h的位置滑下來，滑到平面上的另一點停下來，若L是釋放點到停止點的水平總距離，則物體與滑動面之間的摩擦因數(shù)μ與L，h之間存在關系μ=h/L.

解析 對m，從A→C由動能定理，mgh-WfAB-WfBC=0 ①

由結(jié)論化簡得：mgh-μmgL=0 ② ∴μ=h/L③

例2 如圖3所示，一物塊從圖中斜面上的A點由靜止滑下，又在水平面上滑行一段距離，接著滑上右邊斜面并停于B點.若各處的動摩擦因數(shù)μ都相等，又測得AB連線與水平面的夾角為θ，試：證明動摩擦因數(shù)μ=tanθ.

圖4

解析 如圖4所示，設AB段的水平長度為x，豎直高度差為h，AC的傾角為α，BD的傾角為β，對m，從A→B由動能定理，mgh-WfAC-WfCD-WfDB=0 ①

例3 如圖5所示，DO是水平面，初速為v0的物體從D點出發(fā)沿DBA滑動到頂點A時速度剛好為零.如果斜面改為AC，讓該物體從D點出發(fā)沿DCA滑動到A點且速度剛好為零，則物體具有的初速度.(已知物體與路面之間的動摩擦因數(shù)處處相同且不為零.)

A．大于v0B．等于v0

C．小于v0D．取決于斜面的傾角

對m，從D→C→A由動能定理，

兩式相比得v=v0④

例4 (2017年成都一診)如圖6所示，ABCD是固定在地面上，由同種金屬細桿制成的正方形框架，框架任意兩條邊的連接處平滑，A、B、C、D四點在同一豎直面內(nèi)，BC、CD邊與水平面的夾角分別為α、β(α>β)，讓套在金屬桿上的小環(huán)從A點無初速釋放.若小環(huán)從A經(jīng)B滑到C點，摩擦力對小環(huán)做功為W1，重力的沖量為I1,若小環(huán)從A經(jīng)D滑到C點，摩擦力對小環(huán)做功為W2，重力的沖量為I2.則( ).

A．W1>W2B．W1=W2C．I1>I2D．I1=I2

解析 由摩功等效結(jié)論，環(huán)在AB與CD，AD與BC上運動過程中摩擦力做的功相等，從而環(huán)從ABC、ADC運動過程中摩擦力對小環(huán)做功相等，選項B正確，由v-t圖知，環(huán)從ABC路徑運動時間較長，重力的沖量較大，如圖7，選項C正確.

例5 如圖8所示，一個帶正電荷的物塊m，由靜止開始從斜面上A點下滑，滑到水平面BC上的D點停下來．已知物塊與斜面及水平面間的動摩擦因數(shù)相同，且不計物塊經(jīng)過B處時的機械能損失．先在ABC所在空間加豎直向下的勻強電場，如圖9，第二次讓物塊m從A點由靜止開始下滑，結(jié)果物塊在水平面上的D′點停下來．后又撤去電場，在ABC所在空間加水平向里的勻強磁場，如圖10，再次讓物塊m從A點由靜止開始下滑，結(jié)果物塊沿斜面滑下并在水平面上的D″點停下來．則以下說法中正確的是( ).

圖8 圖9 圖10

A．D′點一定在D點左側(cè) B．D′點一定與D點重合

C．D″點一定在D點右側(cè) D．D″點一定與D點重合

解析 由結(jié)論知，D′點一定與D點重合；加磁場時，根據(jù)動能定理得：mgxABsinθ-μxAB(mgcosθ-qvB)-μxBD(mg-qv′B)=0 不加磁場時，根據(jù)動能定理得：mgxABsinθ-μxABmgcosθ-μxBDmg=0,比較兩式可得xBD″>xBD，所以D″點一定在D點右側(cè)，故C正確.