請“球”入“盒”問題八例

時英雄

(安徽省合肥市第一中學 230000)

學習排列組合問題的時候模型很重要，掌握了一定的模型會在解題中起到事半功倍的效果，不少問題特別是一些人員定崗、名額分配、贈送禮物等實際問題都可以轉化為將球放入球盒問題.下面總結幾種放球入盒問題模型供大家參考.

模型一 球同，盒同，盒不空

例1 8個相同的球放入3個相同的盒子中，每個盒子中至少有一個. 問有多少種不同的放法？

解析 由于這里球和盒子都相同，每三堆放入3個盒子中只有一種情況，所以只要將8個球分成三堆. 即1-1-6、1-2-5、1-3-4、2-2-4、2-3-3五種，故將8個相同的球放入3個相同的盒子中，每個盒子至少有一個， 有5種不同的放法.

結論一n個相同的球放入m個相同的盒子(n≥m)，不能有空盒時的放法種數等于n分解為m個數的和的種數.

模型二 球同，盒同，盒可空

例2 8個相同的球放入3個相同的盒子中. 問有多少種不同的放法？

解析 與上題不同的是本題中的三堆可以有球數為0的堆，即除了分成上面的五堆外，還可分為0-1-7、0-2-6、0-3-5、0-4-4和0-0-8共五種情況，故8個相同的球放入3個相同的盒子中,有10種不同的放法.

結論二n個相同的球放入m個相同的盒子(n≥m)，可以有空盒時的放法種數等于將n分解為m個、(m-1)個、(m-2)個、…、2個、1個數的和的所有種數之和.

模型三 球同，盒不同，盒不空

例3 8個相同的球放入標號為1、2、3的三個盒子中，每個盒子中至少有一個. 問有多少種不同的放法？

模型四 球同，盒不同，盒可空

例4 8個相同的球放入標號為1、2、3的三個盒子中. 問有多少種不同的放法？

模型五 球不同，盒同，盒不空

例5 8個不同的球放入三個相同的盒子中，每個盒子中至少有一個. 問有多少種不同的放法？

結論五n個不同的球放入m個相同的盒子中(n≥m)，不能有空盒的放法種數等于n個不同的球分成m堆的種數.

模型六 球不同，盒同，盒可空

例6 8個不同的球放入三個相同的盒子中，問有多少種不同的放法？

結論六n個不同的球放入m個相同的盒子中(n≥m)，可以有空盒的放法種數等于將n個不同的球分成m堆、(m-1)堆、(m-2)堆、…、2堆、1堆的所有種數之和.

模型七 球不同，盒不同，盒不空

例7 8個不同的球放入標號為1、2、3的三個盒子中，每個盒子中至少有一個. 問有多少種不同的放法？

結論七n個不同的球放入m個不同的盒子中，不能有空盒的放法種數等于n個不同的球分成m堆的種數乘以m！

模型八 球不同，盒不同，盒可空

例8 8個不同的球放入標號為1、2、3的三個盒子中，問有多少種不同的放法？

結論八n個不同的球放入m個不同的盒子中(n≥m)，可以有空盒的放法種數等于mn種.