基于向量函數的微分中值不等式

蔡 瑾

(江蘇省蘇州健雄職業技術學院 215411)

微分形式的不變性以及微分的中值定理作為現代高等數學微分知識中最為基礎也是最為關鍵的一個定理，其微分中值定理以理論基礎的方式進行成為了整個微分學的核心理論.因此，此次研究主要從數學分析的角度來了解全微分形式不變性以及微分中值定理，并給出了具體的推廣形式.

一、向量函數及微分中值不等式的相關概述

1.向量函數

由于一元函數主要指的是由一個定義域到值域的一個映射，其中的定義域和值域均屬于同一維數集，但所要研究的向量值函數卻主要指的是分量關于同一自變量的一元函數，也就是n元向量的函數是x到xn上的映射，在此要進行取值的是二維以及三維向量值的函數，也就是當n=2或是n=3時的情況.例如，當平面內進行運動的過程中，其質點在t時刻 的坐標(x,y)可以表述為x=f(t),y=g(t),t∈I,在這種情況下的點(x,y)=(f(t),g(t))所形成的平面曲線C，那么這一點便是質點的運動路徑，若是參數方程來進行描述，則是：如果用r(t)表示從以往的質點到該質點的時刻t，位置P(f(t),g(t))的向量，那么r(t)=OP=(f(t),g(t))=f(t)i+g(t)j,其定義式為r(t)=(f(t),g(t)，h(t)=f(t)i+g(t)j+h(t)k.

2.微分

微分作為數學中的一個基礎定義，延伸出與之相關更多的數學理論知識，微分在數學中的定義主要為：當函數B=f(a)時，得到了A和B的兩個數集，在這過程中A中的dx若是逐漸靠近A，那么該函數在dx處的極限為函數在dx處的微分，換句話說，微分的中心思想是無窮分割，作為函數變量中的重要組成部分，微積分的基本概念之一，并主要如圖1所示.

圖1

早在希臘時期，人們便已經開始討論無窮、極限等相關的問題，作為微分的中心思想，這些討論在目前看來存在一定的漏洞，但卻是開啟微分理論的第一步，特別希臘時期的阿基米德已經懂得采用無窮分割的方式來正確地計算一些面積，這一做法與現代積分的觀念具有一定的相似性，由此可見在歷史上的積分的概念要早于微分，其主要定義為每，設函數y=f(x)在x的鄰域內存在定義，且x以及Δx+x在此區間內，若是函數增量Δy=f(Δx+x)-f(x)可表示為Δy=AΔx+x.而Δx比x的高階無窮小，那么函數f(x)在x上是可微的.微分概的存在是為了解決直線與曲線的矛盾中所產生的，并在微小的局部可以采用直線去表示近似代替曲線，這種的直接應用方式為函數的線性化，這說明微分在某種程度上來將是就有雙重含義的，微分表示一個微小的量，且這種微小的量可以將線性函數的數值計算結果當做本來函數數值的近似值，作為近似計算的基本思想，微分方法對其完整的呈現出來.

3.微分形式不變性

設函數為y=f(u)時，若是u為自變量，那么函數y=f(u)的微分形式為dy=f′(u)du,若u為中間變量，那么u=g(x),其函數為復合函數，也就是說，自變量為x，即y=f(g(x)),復合函數求導得y′=f′(u),因此，不論u為自變量還是中間變量，均有dy=f′(u)du，這便稱之為微分形式的不變性.

二、微分中值定理

微分中值定理作為一系列中值定理的總稱，是一種研究函數的重要工具，其主要內容是依據拉格朗日定理為主，更是拉格朗日定理的特殊情況下的推廣，微分中值定理在這過程中更好地反映出導數的局部性和函數整體性之間的關系，并得到了較為廣泛的應用.設函數y=f(x)在閉區間上連續，并在開區間內可導，則在開區間內至少存在一點ξ，使得f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)，上述公式在向量函數中處于不可導的情況，但卻可以證明微分中值不等式在向量函數中的成立，通過相關定理可以得出以下結論：設向量函數r(x)在閉區間上連續，并在開區間內可導，則在開區間內至少存在一點ξ，使得r(b)-r(a)=r(ξ)(b-a).

證明：設a=r(b)-r(a),g(x)=a·r(x),x∈(a,b)，由上述公式中可知，實值函數g(x)可以滿足上述的條件，且存在ξ∈(a,b)，從而得出：g(b)-g(a)=g(ξ)(b-a)=[a·r(ξ)](b-a),又因為g(b)-g(a)=a·r(b)-a·r(a)=a·[r(b)-r(a)]=a2,通過上述兩個公式中可以推導，a2=[a·r(b)](b-a)≤a·r(ξ)(b-a),也就說明r(b)-r(a)=r(ξ)(b-a)=a2=[a·r(b)](b-a)≤a·r(ξ)(b-a)，證畢.

三、向量函數全微分形式不變性

假設定理A，D∈Rn為凸開集，f為D→Rn，若f可微，則任意兩點a,b∈D,所以，存在點ξ=a+θ(b-a),0<θ<1,令‖f(b)-f(a)‖≤‖f(ξ)‖‖b-a‖.本文證明了基于向量函數的微分中值不等式：

定理：假設函數f(z)在凸區域D解析，z1,z2∈D，那么，一定存在ξ=z1+θ(z2-z1),0<θ<1,令‖f(z2)-f(z1)‖≤‖f(ξ)‖‖z2-z1‖.

定理證明：

令f(z)=u(x,y)+iv(x,y),z1=a+ib,z2=a+h+i(b+k),以上數字均為實數，那么，φ(x,y)為實值函數，D內可微，根據函數微分中值定理，令根據Schwarz有

φx(a+θh,b+θk)h+θy(a+θh,b+θk)k≤[φx(a+θh,b+θk)]2+[φy(a+θh,b+θk)]2·h2+k2.

經運算，[φx(a+θh,b+θk)]2+[φy(a+θh,b+θk)]2.

基于Ceuchy-Riemann條件，ξ=aθh+i(b+θk)=z1+θ(z2-z1),

另一方面，φ(a+h,b+k)-φ(a,b)=[u(a+h,b+k)-u(a,b)]2+[v(a+h,b+k)-v(a,b)]2,

于是，|f(z2)-f(z1)|2=|f(z2)-f(z1)|·|f(ξ)|·|h2+k2|,

即：|f(z2)-f(z1)|≤|f(ξ)||z2-z1|.

綜上所述，微分形式的不變性以及微分的中值定理作為現代高等數學微分知識中最為基礎也是最為關鍵的一個定理，其微分中值定理以理論基礎的方式進行成為了整個微分學的核心理論.與此同時，向量函數及相關的分析性質更是進行幾何學習的重要基礎和前提，主要是因為向量函數的分析性以及空間幾何解析幾何之間的重要關系，特別是近年來隨著科技的發展和時代的進步，微分幾何這種古老但卻具有一定先進性和引導性的學科更是逐漸顯露出其生命力以及重要的理論研究價值.