運用輔助角法對動態平衡問題的深入探討

韓興乾 喻梅琴

(1.寧夏六盤山高級中學 750011；2.寧夏銀川市第六中學 750011)

在矢量運算問題中要經常運用三角函數進行三角形的求解，而在解決共點力動態平衡問題時也往往直接利用三角函數的單調性討論力的變化情況，這在一般的解決問題中會經常用到.但是在有些問題討論中當因變量并不與某個簡單三角函數直接相關時，這時候有必要用輔助角進行轉換，尋找出適合的三角函數關系，從而推斷出因變量的變化規律甚至是極值.

典例賞析1 水平地面上有一木箱，木箱與地面間的動摩擦因數為μ(0<μ<1)．現對木箱施加一拉力F，使木箱做勻速直線運動．設F的方向與水平地面的夾角為θ，如圖1所示，在θ從0逐漸增大到90°的過程中，木箱的速度保持不變，則( ).

A．F先減小后增大 B．F一直增大

C．F一直減小 D．F先增大后減小

解析 將拉力F沿水平方向和豎直方向正交分解，由平衡條件可得如圖2所示.

圖1 圖2

Fcosθ=Ff

Fsinθ+FN=mg

Ff=μFN

當θ由0逐漸增大到90°的過程中，(α+θ)先由α增加到90°，此過程中sin(α+θ)先增大，使得拉力F隨之減小.而后θ繼續增加，(α+θ)會超過90°，所以sin(α+θ)將會減小，所以拉力F會隨之增大，A正確．

答案 A

拓展訓練 一個質量為1 kg的物體放在粗糙的水平地面上，今用最小的拉力拉它，使之做勻速運動，已知這個最小拉力為6 N，g=10 m/s2，則下列關于物體與地面間的動摩擦因數μ，最小拉力與水平方向的夾角θ，正確的是( ).

圖3

解析 由于物體在水平面上做勻速直線運動，隨著拉力與水平方向的夾角α的不同，物體與水平面間的彈力不同，因而滑動摩擦力也不一樣．而拉力在水平方向的分力與摩擦力相等．以物體為研究對象，受力分析如圖3所示，因為物體處于平衡狀態，水平方向有Fcosα=μFN，豎直方向有Fsinα+FN=mg.

當α+φ=90°，即α=arctanμ時，sin(α+φ)=1，F有最小值；

答案 B

拓展遷移 如果將斜向上的拉力改為斜向下的推理，問題的討論將變得更為復雜！

典例賞析2 如圖4所示，用與水平方向成θ角的推力F作用在物塊上，隨著θ逐漸減小，直到推力變為水平的過程中，物塊始終沿水平面做勻速直線運動，關于物塊受到的外力，下列判斷正確的是( ).

A．推力F先增大后減小

B．推力F一直減小

C．物塊受到的摩擦力先減小后增大

厚萼凌霄種子的萌發情況可以通過它的各項生理指標（發芽率、發芽勢、發芽指數、簡化活力指數）反映出來[10]。

D．物塊受到的摩擦力一直不變

圖4 圖5

原解析 對物體受力分析，建立如圖所示的坐標系．由平衡條件得Fcosθ-Ff=0

FN-(mg+Fsinθ)=0

又Ff=μFN

答案 B

解析補充 通過構造輔助角α，令

此時若只考慮余弦函數的單調性，當θ由90°逐漸減小到0的過程中，(α+θ)先由大于90°減小到90°，此過程中cos(α+θ)先減小，使得拉力F隨之增大.而后θ繼續減小，(α+θ)會小于90°，所以cos(α+θ)將會增加，所以拉力F會隨之減小，即推力F先增大后減小得選A.是什么原因呢？是答案錯了嗎？？

于是將通過構造輔助角將三角函數轉換成正弦函數在討論：

考慮正弦函數的單調性，若θ<α,當θ逐漸增減小到0的過程中，(α-θ)先由也隨之增大，此過程中sin(α+θ)也增大，使得拉力F隨之減小.B選項對.但θ如果大于α，則隨著θ逐漸增減小到0， sin(α+θ)將會先減小后增加，所以推力F先增大后減小，又得選A.

由此可見，影響F變化趨勢的不是函數的形式，而在于θ和α的大小對比關系.

通過查閱以前的大量的測試題，發現2012年全國2卷曾考察過相關的問題，引用此題結論，疑難將迎刃而解.

圖6

名題賞析，運用舉例：(14分，2012寧夏卷)

拖把是由拖桿和拖把頭構成的擦地工具(如圖6).設拖把頭的質量為m，拖桿質量可以忽略；拖把頭與地板之間的動摩擦因數為常數μ，重力加速度為g，某同學用該拖把在水平地板上拖地時，沿拖桿方向推拖把，拖桿與豎直方向的夾角為θ.

(1)若拖把頭在地板上勻速移動，求推拖把的力的大小.

(2)設能使該拖把在地板上從靜止剛好開始運動的水平推力與此時地板對拖把的正壓力的比值為λ.已知存在一臨界角θ0，若θ≤θ0，則不管沿拖桿方向的推力多大，都不可能使拖把從靜止開始運動.求這一臨界角的正切tanθ0.

解：(1)設該同學沿拖桿方向用大小為F的力推拖把.將推拖把的力沿豎直和水平方向分解，按平衡條件有Fcosθ+mg=N①Fsinθ=f②

式中N和f分別為地板對拖把的正壓力和摩擦力.按摩擦定律有f=μN③

(2)若不管沿拖桿方向用多大的力都不能使拖把從靜止開始運動，應有Fsinθ≤λN⑤

這時①式仍滿足.聯立①⑤式得

現考察使上式成立的θ角的取值范圍.注意到上式右邊總是大于零，且當F無限大時極限為零，有sinθ-λcosθ≤0 ⑦

使上式成立的θ角滿足θ≤θ0，這里θ0是題中所定義的臨界角，即當θ≤θ0時，不管沿拖桿方向用多大的力都推不動拖把.臨界角的正切為tanθ0=λ⑧