動靜轉化 巧解高考壓軸題
——幾道高考題引發的換位思考

羅先文

(湖南省常德芷蘭實驗學校 415000)

問題1 (2014天津理科22)設f(x)=x-aex(a∈R).已知函數y=f(x)有兩個零點x1,x2,且x1

(1)求a的取值范圍；

這一小問的解答，充分利用了數形結合的思想，過程簡單流暢，易于理解.

(2)依題意有，x1-aex1=0 (1);x2-aex2=0(2).

又對(1)式兩邊取對數得：lnx1=lna+x1(3);lnx2=lna+x2(4).

第二小問的解答，采用了動靜轉換的思想，把參數a，由靜變為動，通過討論字母x1,x2關于a的單調性，使問題迎刃而解.

問題2 (2016年全國卷2，第21題)

解 (1)略.

問題3 (2010年安徽卷理科，第21題)已知函數f(x)=ex-2x+2a.

(1)求f(x)的單調區間和極值；

(2)求證：當a>ln2-1且x>0時，ex>x2-2ax+1.

解 (1)略.

(2)以a為主變元，x視為常數.設：g(a)=2xa+ex-x2-1，是關于a的增函數，g(a)≥g(ln2-1)=2x(ln2-1)+ex-x2-1.記p(x)=2x(ln2-1)+ex-x2-1,那么p′(x)=ex-2x+2ln2-2(x>0).

容易證明：p′(x)≥0(x>0)，所以p(x)是關于x的增函數，故p(x)>p(0)=0，從而g(a)>0，也即，ex>x2-2ax+1成立.證畢.

由此可見，合理的應用數學思想方法解決數學問題，尤其是難題，能夠減少嘗試或失敗的次數，能夠節省探索的時間和解題的長度，體現出選擇的機智和組合的藝術.