清新的微笑

向佳鈺

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）44-0100-01

我一看到大于號小于號，它們就在我的頭腦中形成了笑臉。數學不等式的研究首先從歐洲國家興起，東歐國家有一個較大的研究群體，特別是原南斯拉夫國家。從牛頓和歐拉在數學分析中取得重要成就到現在數學在物理科學、工程和其它領域的應用，數學不等式已受到了深遠影響，由此可見數學不等式對于學生學習的重要性，而證明不等式就是其中的一個重要組成部分。

關于證明不等式的方法，我將簡單的介紹四種。

一、基本不等式之“拆”、“湊”方法的運用

例1.設a>b>0，求證： a3+ ≥10

【解析】注意到

0

由于不等號方向一致，可將其試著代入整個式子，有

a3+ ≥ a3+

而 a3+ 又可拆為 a3+ ≥ a3+ = a3+ = a3+ a3+ + + ≥ 55 =10于是證畢。

【總結】在上面一道題中，我們為了把a消去，把 a3改成兩項之和， 改為三項之和，這樣就會得到一個常數，以上證明不等式并且這也是應用平均不等式解題的一個常用技巧。

例2.設x1，x2，……xn都是正數，

求證： + +……+ + ≥x1+x2+……+xn

【思路點撥】這個式子看似還蠻復雜的，我們同樣先觀察一下各式分子是平方，分母為一次，且整個式子遞推關系極強，且x1，x2，……xn之間無范圍大小規定，那么，我們來聯想一下要是能把分母給消掉，也就是證明 ≥x1一切問題就迎刃而解了，但顯然不成立，但如果在原不等式兩邊同時加上x1+x2+……+xn，再相應適當組合，就不難證明了。

【解析】 +x2≥2 =2x1；…… +x1≥2xn，把這n個不等式相加并簡化，即得 +……+ ≥x1+x2+……+xn。

【總結】解不等式我們要善于聯想到一些基本不等式的特征，通過適當變換和組合，這就好比是茫茫大海中的那盞若隱若現的燈，朝著這個方向一步一步做出調整與改進，最后達到目標。

二、基本不等式之局部-整體法的應用

例3.設a，b，c∈[0，1]，求證： + + ≤2。

【思路點撥】這個“2”在求證不等式中可謂相當出眾，這里只給了a，b，c的取值范圍，怎么就無緣無故地冒出一個常數2了呢？那么，我們可以從2入手，對2進行加工。于是從2開始，有2= = + + 放入整個不等式中，它們都是對稱結構，那么我們只需證明一個局部不等式 ≤ 即可，分兩種情況討論：

（1）若a≠0則有 ≤ ，交叉相乘得a+b+c≤2bc+2？圳bc-b-c+1+bc+1≥a，bc-b-c+1+bc+1≥a？圳（b-1）（c-1）+bc+1≥a，而（b-1）（c-1）≥0，bc≥0而a≤1，不等式成立。

（2）若a=0，則0=0，不等式成立。

三個局部不等式相加即可得 + + ≤2。

【總結】上述過程中，正是因為我們有局部-整體思想的意識才會把2拆成 ，只有這樣，局部才能一一對應。此外是配成因式（b-1）（c-1）巧用a，b，c的取值范圍，可見在不等式的證明過程中，觀察是否有因式可分解或配成因式是很有必要的。

三、基本不等式之替換的應用

例4.設a，b，c為正數，求證：

（ + + ）+（a+b+c）2≥4

【思路點撥】這個不等式看似復雜，但注意到它的齊次對稱性，不妨設abc=1，于是不等式轉化為： + + +（a+b+c）2≥4 ·

注意到 + + ≥33 =3，令 =t（t>0），現在來證明比原不等式更強的不等式：s+t4≥4 t。因為t= ≥ （ ）≥3 =1，所以3+t4=3+ + + ≥4·4 3= t3≥ ·t·（ ）2=4 t，從而原不等式成立。

【總結】這道題的解題手法與之前最大的不同之處就是將一個式子用t來替換，使原求證不等式變得簡潔，從而其特征也會更加明顯，如此題替換之后就可用我們之前所說的關于不等式的“拆”“湊”的方法來解決了。

綜上列出的方法有：關于基本不等式的運用，“拆”、“湊”，局部-整體的應用， “不妨設”，而在不等式這滔滔大河中，證明不等式的方法還有很多。比如說構造法，反證法，放縮法，數學歸納法等等，這就需要我們用冷靜的心作舟，揮舞的筆作漿，領略一番又一番不等式證明方法的美景，笑意自然就在臉上蕩漾開來！

參考文獻：

[1]奧數教程（高二）第六版

[2]數學奧林匹克小叢書高中卷第二版之平均值不等式與柯西不等式

[3]祁峰.《淺談數學不等式理論及其應用》.焦作大學出版社，2003/02