數學教學中的發散思維培養

敬久旺

【中圖分類號】G64 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）44-0146-01

發散思維又稱輻射思維、放射思維、擴散思維或求異思維，是指大腦在思維時呈現的一種擴散狀態的思維模式，它表現為思維視野廣闊和多維發散狀，發散思維培養就是要克服頭腦中某種已設置好的僵化的思維框框，引導學生從新的方向來思索問題的過程，注重強調多角度、多方面，而在數學教學中一題多解就很奏效。

一、復數的絕對值

教材上對于復數z的|Z|的定義是從向量出發，首先引入z與向量的對應，即以坐標原點o為起點，z所對應的點為終點的向量為z對應的向量，此向量的長度（模）稱為z的模，記為 |Z|。對于之前沒有接觸復數的學生，模的概念確實是與向量有關的。但是，事實上z是一個數，|Z|本身用的是數的絕對值的符號，完全可以讓學生回顧絕對值的概念，以-3的絕對值、a的絕對值等于多少引發學生思考。關于|a|等于多少，多數學生會回答要分情況討論。但答案卻可以用a到坐標原點的距離一言以蔽之。這個時候，|Z|就一目了然了，因為之前已建立了z與點的對應。

二、兩個復數之間的距離

一方面可以用模來定義。首先根據向量減法的三角形法則得到z1-z2所對應的向量，此向量恰好等于由z2指向被減數z1的向量，因此向量的長度即為z1到 z2的距離。但另一方面，用絕對值表示兩點（數）之間的距離早在初中數學中就有，往往容易被學生忽視，教學中應該提及，以讓學生多角度去思考，多發揮聯想發散其思維。比如以負三到五之間的距離、實數a到b之間的距離等于多少向學生提問。關于實數a到b之間的距離，部分學生初反應肯定會一臉茫然，但立即應該都能夠和減法的絕對值建立聯系。

三、證明圓是軸對稱圖形

在人民教育出版社出版的義務教育教科書（教育部2013審定）九年級數學上冊課本中，有這樣的一道命題（81頁）：要證明圓是軸對稱圖形，只需證明圓上任意一點關于直徑所在直線（對稱軸）的對稱點也在圓上。筆者曾就此問題專門調查詢問了一些大學生和一些正在讀初三的中學生。多數大學生證明的思路和教科書上不一致，他們都是根據命題的直接邏輯，先找到圓上任意一點A，再找到此點關于直徑所在直線（對稱軸）的對稱點B，最后證明B點也在圓上。筆者試圖提問除此方法以外還能怎么證明，學生險入沉思。又給出提示能不能想辦法把A與B點都先認定在圓上然后尋求證明，即便這樣還是只有部分學生才豁然明白。因為對稱點本身是唯一的，先找到圓上的任意一點A和圓上與A有關的另外一點B，只要能夠證明B點就是A點的對稱點就可以了，教科書的處理是很好的。

四、未定式的極限

在高等數學中，運用洛必達法則求極限是常見的問題。比如求 問題。一種辦法是設f（x）=（cos ）3，根據導數的定義有：

f′（x）=3（cos ）2（-sin ） ，顯然，導函數f′（x）在x=0處沒有函數值，故f′（0）不存在，也即極限 不存在。

另外一種辦法是選擇適當的等價無窮小做替換，

兩種方法大相徑庭，仔細分析，好像兩種思路都無懈可擊，那么問題出在哪里呢？再細細考究，原來解法1中“顯然，導函數f′（x）在x=0處沒有函數值，故f′（0）不存在”是武斷的，是不顯然的事情。同濟大學第五版高等數學教材上講，“顯然，函數f（x）在點x0處的導數f′（x0）就是導函數f′（x）在點x=x0處的函數值”。按此，確實可以得出解法1中的結論。但是，不能忽略的是，教材此處提到的導函數是先前定義在開區間上的，對于閉區間的端點，結論不再是“顯然”的事情，解法1犯了斷章取義的錯誤。當然，解法2是正確的。學高等數學首先要把概念理解好，知道一些概念之間的相互聯系與區別，適時地舉出一些錯誤的例子讓學生討論，進而達到靈活運用所學知識的目的。

五、中心極限定理

在中心極限定理的教學活動中，教師除了要充分列舉較多的常見例子使學生明確所學知識的應用價值。比如研究我國人壽保險公司的農村老年人壽保險項目，鼓勵學生運用中心極限定理研究，假設我國13億人口中的9億為農村人口，計算保險公司業務收益率。又如在一地區，有五千人參加保險公司推出的一種項目，每年每個人交兩百元。若保險人在某個年齡段之內死亡，家屬將獲得1萬元。而往年統計得出的數據顯示，此種保險人年死亡率為1.7%，求解1年之內保險公司此項保險的虧損概率有多大？此實例可有效調動學生的學習興趣，因此，通過運用中心極限定理建立數學模型引導學生多方面思考問題的效果將十分突出。若得出的概率較大，則說明不利開展此類項目，若虧本概率在合理范圍之內則說明此項目在該地區可以推行。此問題解決之后，進一步設問，如：若保險公司每年固定收入為300萬，每年需要付出的賠付金額為160萬，而參保的5000位人中的每一位所在家庭均有可能成為獲賠方，相當于存在5000個隨機試驗，而影響保險人死亡的因子是多樣的，它們共同作用導致死亡這一結果，然后求解各個因子作用下保險人死亡的概率和保險公司的賠付率。通過運用所學知識解決此類問題也大大加強了學生的知識運用能力，也為學生面向銀行等金融機構就業強化了知識的運用能力，可謂一舉多得。

創新思維與創造性活動相關聯，是多種思維活動的統一，但其中發散思維和靈感起著重要作用，發散思維是創造性思維的核心成分。訓練人的發散思維能力是培養創造力的一種方法。發散思維能使問題最終產生多種參考答案而不是唯一標準的結論，因而容易形成有創見性質的新觀念，數學教學中應該多加以研究。