幾何體的外接球問題

吳清清

今年是福建省使用全國卷的第三年，綜合這幾年的全國卷與福建卷的對比來看，還是有些差異的.其中立體幾何在全國卷中比較穩定，基本是“兩小一大”，一道大題基本是考查平行垂直空間角，一般第一步用傳統解法，第二步用空間向量解法.小題一般有關三視圖、組合體問題等.其中球與其他組合體的接切問題是全國卷與之前福建卷的一大區別，之前福建卷基本沒有相關問題，而全國卷側重考查.為了與高考接軌，在每年福建省九地市的模擬卷的都出現了球的接切問題，這類問題主要考查學生作圖直觀想象的能力，但是這類題型學生得分率往往都不高.下面就幾何體的外接球問題進行分類歸納，總結共性，提供通解通法.

1模型法

總結 能夠放在長方體模型中的幾何體比較常見的有：①共頂點的三棱互相垂直及其等價情況;②面對角線構成的三棱錐，實際上組合體的頂點只要能夠看成長方體中不在同一平面上的頂點組合，則組合體的外接球問題就可以聯想長方體模型.

2直接法

直接找外接球球心位置在空間多面體作過各面外心的面的垂線上.

分析 直接分別過面MNCB、面AMN的外心作垂線交點即球心.

分析 把該三棱錐補成正三棱柱，球心在過正三棱柱底面中心的垂線上，再列方程求解確定.

總結 一般多面體的外接球關鍵在于找球心，球心通過兩條垂線相交確定，或一條垂線再結合球心的頂點距離相等，利用勾股定理列方程求解.

3空間向量法

自從高二學習了空間向量法解決立體幾何問題后，大部分學生該題的得分率明顯提高，從對直觀想象能力要求高轉化為建立空間直角坐標系后對運算能力要求高，學生還是比較擅長后者.對外接球問題沒有思路時可以考慮用空間向量法.

總結空間直角坐標系的出現降低了對學生空間想象能力的要求，解開了對一些學生來說看著圖形不知所云的局面，對大部分學生來說都可以入手，不過對學生的運算能力的要求大大提高，同時對整張試卷來說解題速度也要求提高.在運算能力不出現錯誤和時間夠的情況下，用向量法解題大大提高了此類題目的得分率.

立體幾何問題本來就是學生比較怕的一大問題，而幾何體的外接球問題又涉及到組合體問題，對直觀想象的能力要求更高.通過用熟悉的長方體模型，提供一般的通解通法給學生解題思路，結合空間向量的應用彌補直觀想象能力的不足，對參加2018年高考的考生應有所幫助.