類比推理命題的類型及其解法

高宗浩

類比推理是由特殊到特殊的推理.利用類比推理可以推測未知，發現新結論，尋找解決問題的思路和方法.因此在解決某些問題時，若能合理地運用類比推理，可以幫助我們解決相關問題.下面結合例題介紹類比推理問題的類型及其解法.

1 類比定義

在解決一個新問題或陌生問題時，有時可以借助熟悉的定義所涉及的基本方法和基本思想求解，

分析 仔細分析實數集中的集合A的長度為|A|的意義，然后與實數的絕對值類比，發現可以借助實數的絕對值概念解決此題.要注意的是要先判斷集合是否是離散的點集，再按定義解決.另外，需要比較-α-l與α+2的大小關系.

評注 可以比較一下實數的絕對值與實數集合的長度之間的關系，類比它們的概念、性質及解題方法的異同點，這樣有助于提高數學解題能力.

2類比性質

就是由一些式子的性質或圖形的性質入手，比較兩個概念的性質產生的類比推理類型.解題時要仔細分析題意，弄清兩者之間的聯系與區別，理出解題思路，使問題合理轉化，得到正確結果.

評注 橢圓與雙曲線有諸多相似之處，因此它們有類似的性質.橢圓與雙曲線都由a，b，c確定，但其意義不相同，比如在橢圓中a²=b²+c²，在雙曲線中a²+b²=c²，因此在探索“類似”性質時，應該考慮其不同之處，由“不同之處”適當“修正”對應的結果.

3類比方法

有一些處理問題的方法具有類比性，因此可以將解決某一個問題的方法類比應用到另一個問題的解題過程中.解題時要注意兩個問題的內在聯系，使相關“知識”得到正確遷移.

請你類比聯想，該平面結論可否推廣到空間中去，若能推廣請敘述推廣定理，并加以證明;若不能推廣，則加以說明.

分析 平面結論若能推廣到空間中去，最有可能的是在正四面體中.因此可能有以下命題成立：“正四面體內任一點到四個面的距離之和為定值”.

評注 解題方法的類比，首先要弄清已給的解題方法中的步驟，數式轉化的方法及意義，然后應用到解題中，但不能生搬硬套，以免造成錯誤.

4類比結構

有些新問題或陌生問題的結構及特征與某個熟悉問題類似，這時可在兩者之間進行類比研究.

例4 請觀察平面勾股定理的條件和結論特征，然后研究能否將勾股定理推廣到空間中去.

分析 勾股定理的條件是一組垂直關系，而結論的結構是“平方和”.因此推廣到空間的條件應是三條射線兩兩垂直，即OA⊥OB，OA⊥OC，OB⊥OC（如圖5），考慮到分散元素相對集中，因此構造一個三棱錐.從結論類比應是棱錐各面面積的平方和的關系，猜想：S²_△OAB+S²_△OBC+S²_△OCA=S²_△ABC.

評注類比結構要根據一定的規則，要弄清兩個研究對象之間的相似之處，然后根據類比的原則寫出相應的結論.

解決敘述方式，表達形式甚至內容極為相似的問題，往往需要綜合運用數學知識及數學思想方法，根據題目特征，挖掘隱含條件，通過合理轉化，尋找解題思路，確定解題方法.因此類比推理問題能促進知識融會貫通，也能使數學能力全面提升.