高中立體幾何探究性試題的命制方法初探

摘要：本文針對如何命制高中數學立體幾何探究性試題進行研究，通過具體例子提出了三個常用命題方法。

關鍵詞：立體幾何;探究性;命制試題

中圖分類號：G633.6" "文獻標識碼：A" "文章編號：1992-7711（2018）10-0121

新課程改革背景下，探索建立科學、規范、統一的命題模式，讓試題的命制更加科學而有章可循是一項重要任務。命制有價值的試題，要求教師在考查基礎知識的基礎上，注重對數學思想方法的考查，注重數學的科學價值和人文價值，還要能關注到試題的層次性，合理調控綜合程度，堅持多角度、多層次的考查，實現全面考查綜合數學素養的要求。對于我們教師來說，不僅要能研究解題策略，教會學生如何解題，還要掌握如何命制適合學生水平，能貼近高考的考題。

近幾年高考中探索性問題經常出現，這種題目內容主要是垂直平行兩種位置關系的研究及角度距離的求解，滲透著對數學抽象、直觀想象，邏輯推理及數學運算等核心素養的考查，有利于考查學生歸納、判斷等各方面的能力，也有利于創新意識的培養。那么，如何命制一道立體幾何的探究性問題呢？筆者根據自己的經驗總結了幾點做法：

一、巧設多類討論，體現研究角度的多樣性

分類討論是數學最常見的思想方法，在立體幾何命題中可以適時引入分類討論。

舉例來說，考查三視圖中，我們在投影方向上做文章，編制一道由正方體切割后的幾何體，研究幾何體在正方體六個表面上的投影，這就需要我們分上下、左右及前后面進行討論;在編制旋轉體題目中，我們可以在旋轉軸上引導分類再研究異面直線所成的角。

例如：根據平行與垂直的判定及性質，我們可構造這樣的題目：

例1. 已知α，β是兩個平面，l是空間一條直線，有以下三個結論：①l⊥α，②l∥β，③α⊥β。若以其中兩個作為條件，另一個作為結論，寫出你認為正確的一個命題：__________ （用序號表示）

這種題目，考查內容以書本定理為主，輔助于操作驗證，適用于填空題，難度并不大，但卻要分成三種情況進行考慮。

例2. 已知等腰三角形頂角大小為120°，腰長為1cm，現在將這個三角形繞著其邊所在的直線進行旋轉一圈。求旋轉得到的幾何體的表面積和體積。

這類題目屬于常規題，編制出來考查我們學生，既考查了空間想象能力，考查體積表面積公式，也要求學生能理解分類討論的思想。

二、巧略題目條件，注重命題成立的充分性

為了讓學生在解題時有更廣泛的思維空間，嘗試改造常規題目，我們教師要打破模式化，使學生不是依靠簡單模式來解題。比如把條件結論完整的題目改造，可以給出條件，先猜結論再進行證明的形式;也可以先給出結論，讓學生探求條件;或將題目的條件，結論進行拓廣、演變，形成發展性問題。這些做法都將促使學生從更多的、更新的角度去認識問題，起到培養發散思維能力的作用。高考中比較常見的這種類型的題目是存在性證明的探究。我們可以從原有的題目進行改編。

如，已知條件中給出了固定幾何體，給定某點的位置后，要求學生進行平行或者垂直的關系的證明。這種題目，我們可以將題目的問法改為：當點滿足什么條件時能夠得到平行或者垂直的結論。又如，在幾何體中，給定位置或者長度角度，然后讓學生進行角度，長度及面積體積的求解。在命題時，我們將題目的結論給出，將問題改成“是否存在這樣的點這樣的線”能滿足結論的需要。

例3. 已知：如圖1所示，兩個邊長為2的正方形ABCD與ABEF所在平面垂直，且點M，N分別為棱AB，BC的中點。第一步和第二步，我們可以設置簡單的證明，如：證明線段DA與平面ABEF垂直，也可以證明線段MN與平面CDEF平行;第三步就要有一定的變化了。我們可以這樣設置問題：

是否存在線段CD上一點P，使得BP⊥MN？如果存在，請指出并加以證明;如果不存在，請說明理由？

答案是肯定的，回答問題的時候，就要從如何找到這個點P開始，即先做圖，然后利用線線垂直，線面垂直等判定和性質定理，證明當點P與點D重合時，即符合題意。

雖然這種題目還是離不開立體幾何的“做圖、證明、求解”三個步驟，但其實答案有了更多的選擇，有時候求解出來之后的答案并不一定能符合題意，這對學生的要求更高了，也避免了定勢思維的負面影響。

三、巧改定量變化，突出數學學科的嚴謹性

定量研究是我們很熟悉的研究方式，在立體幾何中一般是為了對特定研究對象的總體得出統計結果而進行的。在定量研究中，信息常用某種數字來表示的，長度定長，角度定值，位置定位。在這種題目的背景下，我們稍做改動，將定值改成變量，將定點改成動點，研究一下結論成立的時候條件還有更多的可能;也可以將命題的條件由定值改為在一定范圍里的變化量，將固定的結論由定量求解轉化成研究所求量的滿足條件。在數學的充要性來說，即研究命題的必要性，從而體現數學學科的嚴謹性。

這樣編制出來的題目要考慮的東西變多了，解題時與向量，不等式知識結合得更加緊密。例如有下面這道題目：如圖2，正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是棱BC、DD1上的中點，證明：B1E⊥平面ABF。

研究變式：如圖2，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為3，E、F分別是棱BC、DD1上的點，且DF=1，CE=2，求證：B1E⊥平面ABF。

接下來，我們就可以考慮這個題目：

例4. 如圖2，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為3，E、F分別是棱BC、DD1上的一對相關動點，如果B1E⊥平面ABF，證明：點E、F滿足BE+D1F=3。

又如2014年的湖北高考題：在四棱錐P-ABCD中，側面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E為PC中點，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2設Q為側棱PC上一點。第一步第二步比較常規，是關于線面平行和線面垂直的研究，第三步是給定了二面角Q-BD-P的大小的具體值，求點Q的具體位置。

我們可以對第三步做以下改編：

例5. 在四棱錐P-ABCD中，側面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E為PC中點，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2設Q為側棱PC上一點，試確定λ的取值范圍，使得二面角Q-BD-P的平面角的范圍為[45°，90°）

培養學生發散思維的題目已經為廣大教師和命題者所重視，并且隨著新課改的進一步推進，數學探究性的問題會越來越豐富。更好的命制探究性問題，并在我們的教學中廣泛應用，對未來的創新人才培養將會產生廣泛深遠的影響。本文中所提到的三種關于立體幾何探究型題目的命制方法只是在平時筆者的教學工作中經常用到的，還存在很多值得進一步深入的問題。研究命題方法的道路任重道遠，需要我們每一位教師在教學工作中進一步進行探究。

作者簡介：許坤武（1976-1）性別：男，民族：漢，籍貫：廈門，職務/職稱：中學高級，學歷本科，任教于廈門市杏南中學，研究方向：高中數學教學。

（作者單位：福建省廈門市杏南中學" " 361022）