課本習(xí)題和中考題的美麗“邂逅”

教材中的習(xí)題蘊(yùn)含豐富，具有典型性、示范性和遷移再生的特性，是命制中考試題的重要素材。本文以魯教版九下P42習(xí)題3為例進(jìn)行探究。

引例：如圖，點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，AI的延長線交BC于D，交△ABC的外接圓于點(diǎn)E，連接BE，CE，找出圖中相等的線段，并說明理由。

這個習(xí)題主要考查了三角形內(nèi)心的性質(zhì)、外角的性質(zhì)、圓周角定理的推論。三角形的內(nèi)心是三角形內(nèi)切圓的圓心，它和三角形各頂點(diǎn)的連線平分三角形的三個內(nèi)角。這個題學(xué)生易把內(nèi)心I當(dāng)做圖中外接圓的圓心，得出AI=EI=BE=CE錯誤的結(jié)論，還有很多學(xué)生不會利用三角形內(nèi)心的性質(zhì)解題，不會添加輔助線，只得出BE=CE。本習(xí)題需連接BI，證得BE=IE，從而得出BE=IE=CE。

證明：連接BI

∵I是△ABC的內(nèi)心，∴∠BAI=∠CAI，∠IBA=∠IBC，∵∠BID=∠BAI+∠IBA，∠EBI=∠IBC+∠DBE，∠DBE=∠CAI，∴∠BIE=∠EBI，∴BE=IE.∵∠BAE=∠CAE，∴∴BE=CE，∴IE=BE=CE。

變式1（2017年山東省臨沂市中考）如圖，∠BAC的平分線交△ABC的外接圓于點(diǎn)D，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E，（1）求證：DE=DB；（2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC外接圓的半徑。

分析：第（1）等價交換條件，把習(xí)題中點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心等價變換為∠BAC的平分線交∠ABC的平分線交于點(diǎn)E，降低了難度：（2）實際是把BC改變?yōu)樘厥獾南抑睆?，利用三角形?nèi)心的性質(zhì)和圓周角定理的推論進(jìn)行計算，演變出的一道中考題變式2（2017年湖北省黃石市中考）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，BC為⊙O的直徑，點(diǎn)E為△ABC的內(nèi)心，連接AE并延長交⊙O于D點(diǎn)，連接BD并延長至F，使得BD=DF，連接CF、BE.

（1）求證：DB=DE；（2）求證：直線CF為⊙O的切線.

保持引例的條件不變，添加BC為⊙O的直徑，連接BD并延長至F，使得BD=DF，連接CF、BE.在證明DB=DE基礎(chǔ)上又求證直線CF為⊙O的切線，演繹成一道2017年湖北省黃石市中考題，在考查三角形內(nèi)心的性質(zhì)，圓周角定理的推論、三角形外角性質(zhì)的基礎(chǔ)上，又考查了三角形中位線定理，圓的切線的判定定理等重要知識點(diǎn)，綜合性進(jìn)一步加強(qiáng)！

分析：（1）欲證明DB=DE，同習(xí)題3一樣只需證明∠DBE=∠DEB，（2）欲證明直線CF為⊙O的切線，只要證明BC⊥CF即可；

（2）解析：連接OD，∵BC為⊙O的直徑，∴∠BAC=90°，∵點(diǎn)E為△ABC的內(nèi)心，∴∠BAD=∠CAD= 45°，∴∠BOD=90°，∵BD=DF，OB=OC，∴OD是△BCF的中位線，∴OD∥CF，∴∠BOD=∠OCF=90°，∴直線CF為⊙O的切線

變式3（2017年山東省濱州市中考）如圖，點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長線交BC于點(diǎn)F，交△ABC的外接圓⊙O于點(diǎn)D，連接BD，過點(diǎn)D作直線DM，使∠BDM=∠DAC.

（1）求證：直線DM是⊙O的切線；（2）求證：DE2=DF·DA.

本題是圓的有關(guān)性質(zhì)和相似三角形判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，對習(xí)題進(jìn)行了拓廣和延伸。解題時需注意：DE2=DF·DA中的三條線段DE、DF、DA共線，不能直接利用相似三角形的判定與性質(zhì)證明，需先證BD=DE，再判定△DBF∽△DAB，即可得到DB2=DF·DA，據(jù)此可得DE2=DF·DA.這就需要學(xué)生學(xué)會從復(fù)雜的圖形分離出我們熟悉的基本圖形或課本中解決過的例題、習(xí)題的圖形，進(jìn)而借助其思考問題的思路，探究新的問題。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，既要重視例題的教學(xué)，也要注重習(xí)題的推廣、拓展。這樣有利于發(fā)展學(xué)生的思維能力，形成良好的思維品質(zhì)。