探究函數(shù)的對稱性

函數(shù)是中學數(shù)學教學的主線，是中學數(shù)學的核心內(nèi)容，也是整個高中數(shù)學的基礎。函數(shù)的對稱性是函數(shù)的一個基本性質(zhì)，對稱關(guān)系不僅廣泛存在于數(shù)學問題之中，而且利用對稱性往往能更簡捷地使問題得到解決，對稱關(guān)系還充分體現(xiàn)了數(shù)學之美。本文擬通過函數(shù)自身的對稱性和不同函數(shù)之間的對稱性這兩個方面來探討函數(shù)與對稱有關(guān)的性質(zhì)。

函數(shù)自身的對稱性探究

定理1：函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于點A（a，b）對稱的充要條件是f（x）+f（2a-x）=2b

證明：（必要性）設點P（x，y）是y=f（x）圖像上任一點，∵點P（x，y）關(guān)于點A（a，b）的對稱點P（2a-x，2b-y）也在y=f（x）圖像上，∴2b-y=f（2a-x），即y+f（2a-x）=2b故f（x）+f（2a-x）=2b，必要性得證。（充分性）設點P（x₀，y₀）是y=f（x）圖像上任一點，則y₀=f（x₀）∵f（x）+f（2a-x）=2b，∴f（x₀）+f（2a-x₀）=2b，即2b-y₀=f（2a-x₀）。故點P（2a-x₀，2b-y₀）也在y=f（x）圖像上，而點P與點P關(guān)于點A（a，b）對稱，充分性得征。

推論：函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于原點O對稱的充要條件是f（x）+f（-x）=0。

定理2：函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于直線x=a對稱的充要條件是f（a+x）=f（a-x），即f（x）=f（2a-x）（證明留給讀者）.

推論：函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于y軸對稱的充要條件是f（x）=f（-x）

定理3：①若函數(shù)y=f（x）圖像同時關(guān)于點A（a，c）和點B（b，c）成中心對稱（a≠b），則y=f（x）是周期函數(shù)，且2|a-b|是其一個周期。②若函數(shù)y=f（x）圖像同時關(guān)于直線x=a和直線x=b成軸對稱（a≠b），則y=f（x）是周期函數(shù)，且2|a-b|是其一個周期。③若函數(shù)y=f（x）圖像既關(guān)于點A（a，c）成中心對稱又關(guān)于直線x=b成軸對稱（a≠b），則y=f（x）是周期函數(shù)，且4|a-b|是其一個周期。①②的證明留給讀者，以下給出③的證明：∵函數(shù)y=f（x）圖像既關(guān)于點A（a，c）成中心對稱，∴f（x）+f（2a-x）=2c，用2b-x代x得：f（2b-x）+f[2a-（2b-x）]=2c（*）又∵函數(shù)y=f（x）圖像直線x =b成軸對稱，∴f（2b-x）=f（x）代入（*）得：f（x）=2c-f[2（a-b）+x]（**），用2（a-b）-x代x得f[2（a-b）+x]=2c-f[4（a-b）+x]代入（**）得：f（x）=f[4（a-b）+x]，故y=f（x）是周期函數(shù)，且4|a-b|是其一個周期。

不同函數(shù)對稱性的探究

定理4：函數(shù)y=f（x）與y=2b-f（2a-x）的圖像關(guān)于點A（a，b）成中心對稱。

定理5：①函數(shù)y=f（x）與y=f（2a-x）的圖像關(guān)于直線x=a成軸對稱。②函數(shù)y=f（x）與a-x=f（a-y）的圖像關(guān)于直線x+y=a成軸對稱。③函數(shù)y=f（x）與x-a=f（y+a）的圖像關(guān)于直線x-y=a成軸對稱。定理4與定理5中的①②證明留給讀者，現(xiàn)證定理5中的③。設點P（x₀，y₀）是y=f（x）圖像上任一點，則y₀=f（x₀）。記點P（x，y）關(guān)于直線x-y=a的軸對稱點為P（x₁，y₁），則x₁ =a+y₀y₁=x₀-a，∴x₀ =a+y₁，y₀=x₁-a代入y₀=f（x₀）之中得x₁-a=f（a+y₁），∴點P（x₁，y₁）在函數(shù)x-a=f（y+a）的圖像上。

同理可證：函數(shù)x-a=f（y+a）的圖像上任一點關(guān)于直線x-y=a的軸對稱點也在函數(shù)y=f（x）的圖像上。故定理5中的③成立。

推論：函數(shù)y=f（x）的圖像與x=f（y）的圖像關(guān)于直線x=y成軸對稱。

函數(shù)對稱性應用舉例

例1：定義在R上的非常數(shù)函數(shù)滿足：f（10+x）為偶函數(shù)，且f（5-x）=f（5+x），則f（x）一定是（ ""）

（A）是偶函數(shù)，也是周期函數(shù) """"""（B）是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)

（C）是奇函數(shù)，也是周期函數(shù) """"""（D）是奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)

解：∵f （10+x）為偶函數(shù)，∴f（10+x）=f（10-x），∴f（x）有兩條對稱軸x=5與x=10，因此f（x）是以10為其一個周期的周期函數(shù)，∴x=0即y軸也是f（x）的對稱軸，因此f（x）還是一個偶函數(shù)。故選（A）

例2.設f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（1+x）= f（1-x），當-1≤x≤0時，f（x）=-x，則f（8.6）=_________。

解：∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)∴x=0是y=f（x）對稱軸;又∵f（1+x）=f（1-x），∴x=1也是y=f（x）對稱軸。故y=f（x）是以2為周期的周期函數(shù)，∴f（8.6）=f（8+0.6）=f（0.6）=f（-0.6）=0.3