高中數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)與研究

參數(shù)廣泛地存在于中學(xué)數(shù)學(xué)的各類問題中，也是近幾年來高考重點考查的熱點問題之一。以命題的條件和結(jié)論的結(jié)構(gòu)為標(biāo)準(zhǔn)，含參數(shù)的問題可分為兩種類型，。一種類型的問題是根據(jù)參數(shù)在允許值范圍內(nèi)的不同取值（或取值范圍），去探求命題可能出現(xiàn)的結(jié)果，然后歸納出命題的結(jié)論;另一種類型的問題是給定命題的結(jié)論去探求參數(shù)的取值范圍或參數(shù)應(yīng)滿足的條件。本文擬就第一類問題的解題思想方法――分類與討論作一些探討，不妥之處，敬請斧正。

解決第一類型的參數(shù)問題，通常要用“分類討論”的方法，即根據(jù)問題的條件和所涉及到的概念;運用的定理、公式、性質(zhì)以及運算的需要，圖形的位置等進行科學(xué)合理的分類，然后逐類分別加以討論，探求出各自的結(jié)果，最后歸納出命題的結(jié)論，達到解決問題的目的。它實際上是一種化難為易。化繁為簡的解題策略和方法。

一、科學(xué)合理的分類

把一個集合A分成若干個非空真子集A_i（i=1、2、3···n）（n≥2，n∈N），使集合A中的每一個元素屬于且僅屬于某一個子集。即A₁∪A₂∪A₃∪···∪A_n=A。②A_i∩A_j=φ（i，j∈N，且i≠j）。則稱對集A進行了一次科學(xué)的分類（或稱一次邏輯劃分）科學(xué)的分類滿足兩個條件：條件①保證分類不遺漏;條件②保證分類不重復(fù)。在此基礎(chǔ)上根據(jù)問題的條件和性質(zhì)，應(yīng)盡可能減少分類。

二、確定分類標(biāo)準(zhǔn)

在確定討論的對象后，最困難是確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，一般來講，分類標(biāo)準(zhǔn)的確定通常有三種：

（1）根據(jù)數(shù)學(xué)概念來確定分類標(biāo)準(zhǔn)

例如：絕對值的定義是："所以在解含有絕對值的不等式|logx|+|log"（3-x）|≥1時，就必須根據(jù)確定logx"，log（3-x）正負的x值1和2將定義域（0，3）分成三個區(qū)間進行討論，即0

1≤x<2，2≤x<3三種情形分類討論。

例1：已知動點M到原點O的距離為m，到直線L：x=2的距離為n，且m+n=4，①求點M的軌跡方程。②過原點O作傾斜角為α的直線與點M的軌跡曲線交于P，Q兩點，求弦長|PQ|的最大值及對應(yīng)的傾斜角α。

解：（1）設(shè)點M的坐標(biāo)為（x，y），依題意可得：+=4，根據(jù)絕對值的概念，軌跡方程取決于x>2還是x≤2，所以以2為標(biāo)準(zhǔn)進行分類討論可

得軌跡方程為：y=

（2）根據(jù)數(shù)學(xué)中的定理，公式和性質(zhì)確定分類標(biāo)準(zhǔn)。數(shù)學(xué)中的某些公式，定理，性質(zhì)在不同條件下有不同的結(jié)論，在運用它們時，就要分類討論，分類的依據(jù)是公式中的條件。

例如，對數(shù)函數(shù)y=log_ax的單調(diào)性是分01兩種情況給出的，所以在解底數(shù)中含有字母的不等式;如log_xgt;-1就應(yīng)以底數(shù)x>1和01時，， 當(dāng)0

例2：設(shè)首項為1，公比為q（q>0）的等比數(shù)列的前n項和為S_n，又設(shè)T_n=，n=1，2，求T_n解：當(dāng)q=1時，S_n=n，T_n=，，當(dāng)q≠1時，S_n=，于是當(dāng)01時，。綜上所述，

（3）根據(jù)運算的需要確定分類標(biāo)準(zhǔn)。例如：解不等式組，顯然，應(yīng)以3，4為標(biāo)準(zhǔn)將a分為14三種情況進行討論。

例3：解關(guān)于x的不等式組其中a>0且a≠1。

解，由于不等式中均含有參數(shù)a，其解的狀況均取決于a>1還是a<1，所以1為標(biāo)準(zhǔn)進行分類，

（1）當(dāng)0

（2）當(dāng)a>1時，可解得：， 此時不等式組是否有解關(guān)鍵取決于與2的大小關(guān)系，所以以"即a=3為標(biāo)準(zhǔn)進行第二次分類。①當(dāng)13時解集為

綜上所述：當(dāng)03時，解集為"（2， .

三、分類討論的方法和步驟

①確定是否需要分類討論以及需要討論時的對象和它的取值范圍;確定分類標(biāo)準(zhǔn)科學(xué)合理分類;逐類進行討論得出各類結(jié)果;歸納各類結(jié)論。

例4：若函數(shù)f（x）=a+bcosx+csinx的圖象經(jīng)過點（0，1）和（，1）兩點，且x∈[0，]時，|f（x）|≤2恒成立，試求a的取值范圍。

解：由f（0）=a+b=1，f（）=a+c=1，求得b=c=1-a，f（x）=a+（1-a）（sinx+cosx）=a+（1-a）sin（x+），∵

①當(dāng)a≤1時，1≤f（x）≤a+（1-a）∵|f（x）|≤2∴只要a+（1-a）≤2解得a≥∴-≤a≤1;②當(dāng)a>1時，a+（1-a）≤f（x）≤1，∴只要a+（1-a）≥-2，解得a≤4+3"， ∴1

例5：已知函數(shù)f（x）=sim²x-asim²""試求以a表示f（x）的最大值b。

解：原函數(shù)化為f（x）=。令t=cosx，則-1≤t≤1。記g（t）=-（。t∈[-1，1]，因為二次函數(shù)g（t）的最大值的取得與二次函數(shù)y=g（t）的圖象的頂點的橫坐標(biāo)相對于定義域[-1，1]的位置密切相關(guān)，所以以相對于區(qū)間[-1，1]的位置分三種情況討論：①當(dāng)-1≤≤1，即-4≤a≤4時，b=g（t）_max=，此時t=;②當(dāng)<-1，即a<-4時，b=-a，此時t=，③當(dāng)>1， 即a>4時，b=0，此時t=1

綜上所述：b=

分類討論的思想是一種重要的解題策略，對于培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴密性，嚴謹性和靈活性以及提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力無疑具有較大的幫助。然而并不是問題中一出現(xiàn)含參數(shù)問題就一定得分類討論，如果能結(jié)合利用數(shù)形結(jié)合的思想，函數(shù)的思想等解題思想方法可避免或簡化分類討論，從而達到迅速、準(zhǔn)確的解題效果。