有“圓”相聚，化難為易

近年中考雖然對(duì)“圓”這部分的要求降低了很多，但是還有一些題目往往都具有“圓”的問(wèn)題背景，如果我們能根據(jù)題目中的已知條件構(gòu)造輔助圓，不僅能起到化隱為顯、化難為易的解題效果，還能培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，那么如何構(gòu)造輔助圓才能使得解題舉重若輕，柳暗花明呢？

一、利用圓的定義（到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)），構(gòu)造輔助圓

例1：如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB=AC=AD=2.5，CD=3，則BD的長(zhǎng)為

解析：如圖2，由條件AB=AC=AD=2.5，想到構(gòu)造以A為圓心，AB為半徑的圓，則點(diǎn)C，D均在⊙A上，延長(zhǎng)DA交⊙A于點(diǎn)E，由AD∥BC可以推得BE=CD=3，因?yàn)镈E是直徑，所以∠DBE=90°，在Rt△BDE中，BE=3，DE=5，由勾股定理可得：BD=4.

二、利用圓周角等于圓心角的一半構(gòu)造輔助圓

三、利用圓周角的性質(zhì)構(gòu)造輔助圓

【例3】如圖5，AD、AE、AM分別為△ABC的高、角平分線、中線，∠DAE=∠MAE.求證：∠BAC=90°.

四、利用直徑所對(duì)的圓周角是直角構(gòu)造輔助圓

【例4】（人教版八年級(jí)下冊(cè)第69頁(yè)改編）如圖7，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC上任意一點(diǎn)，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分線CF于F，求證：AE=EF.

解析：如圖8，連接AC，則∠AEF=∠ACF=90°，故以AF為直徑作圓，則點(diǎn)A，E，C，F(xiàn)都在這個(gè)圓上，又∵∠ECF=135°，∴∠EAF=45°（圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)。∴△AEF是等腰直角三角形，∴AE=EF.

說(shuō)明：此題是2017年福建省中考題24題改編題，還可以過(guò)P點(diǎn)作AD的垂線構(gòu)成K形圖形來(lái)求解.

綜上，細(xì)心觀察題目所給出的條件及所要解決的問(wèn)題，若能與圓結(jié)緣，構(gòu)造一個(gè)輔助圓，以它為載體去重新認(rèn)識(shí)題中所給出的角、線段、三角形等基本圖形，再結(jié)合圓的一些特有性質(zhì)，去分析和探討問(wèn)題，往往能使我們柳暗花明，驀然開(kāi)朗，從而激發(fā)我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的活力和樂(lè)趣！