圓錐曲線切線斜率求法的探究與推廣

摘要：在圓錐曲線的學習中，點差法是研究中點弦所在直線斜率的重要方法，本文有感于點差法的思想，通過探究、聯想、證明的思路推倒出了圓錐曲線切線斜率的另一種求法。

圓錐曲線的切線斜率問題常見的解法有兩種：一？？聯立直線與圓錐曲線方程，利用判別式△=0來求解；二是將圓錐曲線方程轉化為函數形式，利用導數的幾何意義斜率求解。這兩種方法都運算量大，易出錯， 筆者在研究此類問題時經歷了如下的思維之旅，現撰文以供拋磚引玉。

一、有感于“點差法”解題

對于圓錐曲線的中點弦所在直線的斜率問題我們常采用的方法是點差法處理，如：引例：過圓錐曲線內一點M引一條弦交曲線于點A，B，且M是AB的中點，求該弦所在直線的斜率k。

解：由點A，B在曲線上且M是AB的中點，故滿足。

……①；……②；……③；……④。由①-②得，化簡得………⑤；把③④代入⑤得（注：不化簡） …......⑥；即當M為圓錐曲線內一點時，則以該點為弦中點的弦所在直線的斜率，。

二、借力極限，大膽猜想

不斷的探究、猜想往往是發現數學問題的金鑰匙，此題如果就此止步，則顯得缺少了數學的韻味，若借助極限的思想，把弦所在的直線由相交狀態逐漸平行移動到相切狀態時可以體會到A，B兩點會逐漸趨于重合于點M，此時斜率的直線成了圓錐曲線的切線， M成了切點，因而猜想：當M為圓錐曲線上一點時，則過該點的切線的斜率，。

三、放飛想像，與導數聯姻

問題是數學的心臟，我們知道切線的斜率與切點處的導數有著緊密的聯系，那么此切點M的切線斜率與該點處的導數究竟存在著怎樣的關系呢？

將圓錐曲線方程化為，記，把看作關于的函數，對求導得，記作，則………⑦；把看作關于的函數，對求導得，記作，則………⑧；結合⑥⑦⑧可得……⑨；即為圓錐曲線上一點M處切線的斜率。

證明如下：設過點M的直線參數方程為并將其代入圓錐曲線整理得，由于點M是圓錐曲線上一點，故，所以，顯然當且=0時直線與曲線相切，所以；反之，當時代入得，綜上可得圓錐曲線上一點M處切線的斜率。

四、延伸拓展

對于方程來說，當m=n>0是表示圓；當m>0，n>0且m≠n時表示橢圓；當mn<0時表示雙曲線。因此利用來求圓、橢圓、雙曲線上一點M處的切線斜率大大簡化了計算量。考慮更一般性的命題：設點M是二次曲線…....（ⅰ）上一點，且………（ⅱ）；…… （ⅲ）；

則在點M處的切線斜率為……… （▲）

證明如下：設過點M的直線參數方程為………（ⅳ）

將（ⅳ）代入（ⅰ），經過整理得關于的方程：…………（ⅴ）把（ⅱ）和 （ⅲ）代入（ⅴ）得：，即………（ⅵ）

（1）當時（ⅳ）成為（ⅰ）的切線的條件是即=4。化簡得

（2）當時（ⅳ）成為（ⅰ）的切線的條件仍是。

綜上1）和2），由于，所以得到斜率，故命題（▲）得證。

五、命題的簡單應用

為了更好的理解應用此法解決圓錐曲線的相切問題，現舉兩例，以示讀者。

例1.求過橢圓上一點P的切線方程。

分析：利用解決直線與圓錐曲線（含圓，橢圓，雙曲線，拋物線）的相切問題，可以避免聯立方程和判別式，大大減少了計算量，降低錯誤率，是非常簡捷的方法。

解：將橢圓方程整理為，所以；；由可得切線斜率；因此在點P的切線方程為即。

例2.求二次曲線通過點的切線方程。

分析：處理非標準圓錐曲線（二次曲線）與直線的相切問題時仍然適用。

解：點不在曲線上，所以設切線與曲線的切點為，則有 ；；；聯立上述三個方程可得切點坐標為和，故所求切線方程為：和。

事實上對于圓錐曲線來說，由于過曲線上任意一點M處的切線斜率為，由直線的點斜式方程整理得，既簡潔、方便記憶又有數學的對稱美。總之，在學習數學的過程中，要以探究的心態善待每一道題，通過研究其解法、揭示其內涵，從而使學生開拓思路、活躍思