巧解直線與圓的綜合問題

■陳國林

直線與圓是解析幾何初步的內容，是學習圓錐曲線的基礎，但是很多同學在初學時常因知識掌握得不夠牢固，而導致解題時出錯。下面以例題形式呈現，給出幾個有關直線與圓的問題的巧解方法，希望能給同學們帶來啟示。

一、理清基本概念

例1下列命題中正確的有( )。

①直線的斜率為tanα，則直線的傾斜角是α;

②直線的傾斜角為α，則直線的斜率為tanα;

③由于垂直于x軸的直線的斜率不存在，所以垂直于x軸的直線的傾斜角也不存在。

A.0個 B.1個

C.2個 D.3個

解：直線的斜率為tanα，只有當α∈[0，π)時，α才是直線的傾斜角，①錯誤;任一直線的傾斜角均為α∈[0，π)，而當時，直線的斜率不存在，②錯誤;當直線垂直于x軸時，傾斜角為，③錯誤。應選A。

評注:對于直線與傾斜角問題，需要明確傾斜角α∈[0，π)，所有直線都有唯一的傾斜角，但當傾斜角為90°時，直線的斜率不存在。

二、重視直線斜率不存在的情況

例2直線l過點P(-1，2)且到點A(2，3)和點B(-4，5)的距離相等，則直線l的方程為

解法1：當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y-2=k(x+1)，即kx-y+k+2=0。由題意可得即，解得，此時直線l的方程為)，即x+3y-5=0。當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=-1，也符合題意。綜上可得，直線l的方程為x+3y-5=0或x=-1。

解法2：當AB∥l時，可得k=kAB=則直線l的方程為y-2=，即x+3y-5=0。當l過AB的中點時，由AB的中點為(-1，4)，可得直線l的方程為x=-1。綜上可知，直線l的方程為x+3y-5=0或x=-1。評注:部分同學在求解直線的方程時，常常因忽略直線的斜率不存在的情況，而導致漏解或錯解。實際上，在求解此類問題時，若能夠借助圖形，采用數形結合的思想，會使得題目更直觀，且大大降低解題的出錯率。

三、巧用截距為零

例3過點P(2，3)并且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程為( )。A.2x-3y=0

B.3x-2y=0或x+y-5=0

C.x+y-5=0

D.2x-3y=0或x+y-5=0

解：當所求直線與兩坐標軸的截距均不為0時，設該直線的方程為x+y=a，把點P(2，3)代入所設的方程，得a=5，則所求直線的方程為x+y=5，即x+y-5=0。當所求直線與兩坐標軸的截距均為0時，設該直線的方程為y=kx，把點P(2，3)代入所設的方程，得，則所求直線的方程為y=，即3x-2y=0。綜上可得，所求直線的方程為x+y-5=0或3x-2y=0。

評注:解答本題時，首先，需要分所求直線與兩坐標軸的截距均為0和均不為0兩種情況進行討論;其次，通過把已知點的坐標代入求出直線方程。

四、分清傾斜角的取值范圍

例4經過點P(0，-1)作直線l，若直線l與連接點A(1，-2)，B(2，1)的線段總有公共點，則直線l的傾斜角α的取值范圍是。

解：如圖1所示，為使直線l與線段AB總有公共點，則需kPA≤k≤kPB，而kPB＞0，kPA＜0。當k＜0時，α為鈍角;當k=0時，α=0;當k＞0時，α為銳角。因為kPA=所以-1≤k≤1。當0≤k≤1時，當-1≤k＜0時故傾斜角α的取值范圍為

圖1

評注:在求傾斜角α的取值范圍時，如果忽略了傾斜角α∈[0，π)，則會誤解為α∈。在解答這類題目時，如果能夠借助數形結合思想，將會使問題變得簡單直觀。

五、注意特殊情況

例5已知線段PQ兩端點的坐標分別為點P(-1，1)和點Q(2，2)，若直線l∶x+my+m=0與線段PQ有交點，則實數m的取值范圍是

解：如圖2所示，直線l∶x+my+m=0過定點A(0，-1)。當m≠0時，kPA=-2，因為，所以或，解得或當m=0時，直線l的方程為x=0，與線段PQ也有交點。綜上可得，實數m的取值范圍為

圖2

評注:本題中m=0是個特殊情況，若忽視，會導致所求的實數m的取值范圍為

六、清楚直線和圓的位置關系

例6已知直線l∶mx+y-2m-1=0，圓C∶x2+y2-2x-4y=0，當直線l被圓C所截得的弦長最短時，實數

解：由題意知，直線l過定點(2，1)，設點A為(2，1)，而圓C∶(x-1)2+(y-2)2=5，其圓心C為(1，2)。當直線l被圓C所截得的弦長最短時，直線AC⊥l，則-1，解得m=-1。

評注:過圓內的一點作直線，該直線與圓一定相交，且所截得的最長的弦為過該點的直徑，最短的弦為過該點與直徑垂直的弦。

七、牢記圓的半徑r＞0

例7過點(1，2)總可作兩條直線與圓x2+y2+kx+2y+k2-15=0相切，則實數k的取值范圍是

評注:二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓時，需要滿足D2+E2-4F＞0，如果忽略了這一條件，會造成待定參數k的取值范圍擴大。

八、挖掘隱含條件

例8若動點(x，y)在圓(x-2)2+y2=4上，求6x2+8y2的最大值。

解：由(x-2)2+y2=4得y2=4x-x2，所以6x2+8y2=6x2+8(4x-x2)=-2x2+32x=-2(x2-16x+64-64)=-2(x-8)2+128。因為0≤x≤4，所以當x=4時，6x2+8y2的最大值為96。

評注:圓(x-2)2+y2=4是一個封閉的圖形，表示以(2，0)為圓心，以2為半徑的圓，所以x的取值范圍不是R，而是[0，4]。解答本題時，若挖掘不出這一隱含條件，會誤認為當x=8時，6x2+8y2的最大值為128。

九、全面考慮情況

例9圓C∶(x-5)2+(y-1)2=36上到直線4x+3y+2=0的距離為1的點的個數為

解：因為圓C的半徑為6，圓心(5，1)到直線4x+3y+2=0的距離為5＜6，又因為r-d=6-5=1，所以圓C∶(x-5)2+(y-1)2=36上到直線4x+3y+2=0的距離為1的點的個數為3。

評注:圓上的點到一條直線的距離等于定值，這樣的點可能有0個，1個，2個，3個，4個等情況，解答此類問題時，需要謹慎思考，要注意區分直線與圓的交點個數與圓上的點到一條直線的距離等于定值的點的個數的區別。