一道圓的最值問題的變式探索

■胡 磊 齊展修 華 偉

題目已知直線l的方程為x+y-6=0，M為圓x2+y2-4x+3=0上的任一點，設點M到直線l的距離為d，則d的最大值為

分析：求出已知圓的圓心與半徑，利用圓心到直線的距離求解。

解：圓x2+y2-4x+3=0化為(x-2)2+y2=1，可知圓心坐標為(2，0)，半徑為1。

直線l的方程為x+y-6=0，M為圓x2+y2-4x+3=0上的任一點，設點M到直線l的距離為d。

名師評析:本題考查直線與圓的位置關系的綜合應用，考查計算能力。圓上的點到直線距離的最值問題，一般轉化為圓心到直線的距離問題來解決。本題的解題過程體現了最值問題中的以靜制動的思想方法。

變式1：已知點A，B(1，0)，點P為圓C∶x2+y2+2x=0上的任一點，則△PAB面積的最大值為

分析：求出已知圓的圓心與半徑，由于線段AB為定長，于是所求問題可轉化為求點到直線的距離的最大值。

解：由x2+y2+2x=0，可得(x+1)2+y2=1，可知圓心C(-1，0)，半徑r=1。

名師評析:對于這類問題，可以轉化為圓心到直線的距離的最大值求解。

變式2：直線x+y+2=0分別與x軸，y軸交于A，B兩點，點P在圓(x-2)2+y2=2上，則△ABP面積的取值范圍是

分析：本題與變式1的命題方向如出一轍。由于AB是定長，所以所求問題可轉化為圓心到直線的最值問題來求解。

解：由x+y+2=0，令x=0，得y=-2，令y=0，得x=-2，所以點A(-2，0)，

因為點P在圓(x-2)2+y2=2上，所以點P到直線x+y+2=0的距離的最值就是圓心到直線AB的距離的最值。

設AB邊上的高為h，圓心(2，0)到直線x+y+2=0的距離是則。

名師評析:本題也是轉化為圓心到直線距離的最值問題求解的，圓上的點到直線的最大距離等于d+r，最小距離等于d-r。

變式3：點P(x，y)是直線kx+y+3=0上一動點，PA，PB是圓C∶x2+y2-4y=0的兩條切線，A，B是切點，若四邊形PACB面積的最小值為2，則k的值為

分析：本題也可轉化為圓心到直線的距離的最小值問題求解。

解：根據題意畫出圖形，如圖1所示。

圖1

故當|PC|最小時，面積取得最小值。

因為|PC|的最小值即為點C到直線kx+y+3=0的距離d，而，所以。

名師評析:本題仍然是轉化為圓心到直線的最小值求解的。