聚焦與圓有關的軌跡問題

■喬國穎 張文偉

直線與圓的問題中，經常出現與圓有關的軌跡問題，下面就與圓有關的軌跡問題進行歸類整理，以方便同學們掌握這類題型的解題方法與技巧。

一、直接法

直接法求軌跡方程的基本步驟是∶建系設點，列出條件，代入坐標，整理化簡，限制說明。

例1已知線段AB和動點C，若，求動點C的軌跡方程。

解：以AB為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系(圖略)，則點A(-2，0)，B(2，0)。

設動點C(x，y)。

故所求動點C的軌跡方程是(x-6)2+y2=32。

評析:在平面上給定相異兩點A，B，設點P在同一平面上且滿足則當λ＞0且λ≠1時，點P的軌跡是一個圓。

二、幾何法(定義法)

利用題中所給的幾何特征判斷出軌跡是一個圓，再根據圓的定義求出軌跡方程。

例2已知兩定點A(1，0)，B(5，0)，過點A，B分別作兩條直線l1和l2，直線l1和l2的斜率分別是k1和k2，若k1·k2=-1，求直線l1和l2的交點M的軌跡方程。

解：因為k1·k2=-1，所以l1⊥l2，可得∠AMB=90°，可知點M在以AB為直徑的圓上。

因為k1·k2=-1，可知k1和k2都存在，所以M點不能和A，B兩點重合，故點M的軌跡方程為(x-3)2+y2=4(y≠0)。

評析:幾何法是求圓的方程的常用方法，即通過所給條件的幾何特征，確定動點軌跡是一個圓，再來確定圓心和半徑，從而求出圓的方程。

三、已知圓上有一動點

已知圓上有一動點，求與該動點有關的動點軌跡方程也是常見的題型，這類問題的解法相對比較固定，都是尋找所求動點坐標與圓上動點坐標之間的關系求解的。

例3已知點P(4，0)與圓O∶x2+y2=9，Q是圓O上的動點，求PQ的中點M的軌跡方程。

解：設PQ的中點M的坐標為(x，y)，動點Q(x0，y0)。

又因為點Q(x0，y0)在圓O上，所以，即得(2x-4)2+(2y)2=9，整理可得

故PQ的中點M的軌跡方程為(x-2)2

評析:已知圓上有一動點，這時要設該動點為(x0，y0)，所求軌跡的動點為(x，y)，用x，y表示出x0，y0是解題的關鍵。

四、已知圓上有兩動點

這類問題一般是尋找這兩點的弦的中點，借助圓心與弦的中點的連線和弦垂直，找出半徑和弦長之間的關系。

例4已知☉O∶x2+y2=9，A(3，0)是☉O上的一個定點，B(-1，2)為☉O內的一個定點，P，Q為☉O上的兩個動點。

(1)求線段AP中點M的軌跡方程。

(2)若PB⊥BQ，求線段PQ中點N的軌跡方程。

解：設中點 M(x，y)，動點P(x0，y0)

因為點P在圓x2+y2=9上，所以+=9，即得(2x-3)2+(2y)2=9，整理可得

(2)設點N(x，y)。

因為PB⊥BQ，所以△PBQ是直角三角形。

又因為N是Rt△PBQ斜邊的中點，所以|PN|=|BN|。

由O為坐標原點，可知ON⊥PQ，如圖1所示。

圖1

評析:解答本題的關鍵是借助△PBQ是直角三角形，找出半徑和弦長之間的關系。

編者注：本文系2018年度河南省基礎教育教學研究項目《高中階段國際班教學與管理策略研究》研究成果，項目編號∶JCJYC18250241。