飛行器圓柱類部件的氣動外形參數化方法

何小龍, 白俊強,2, 李立, 楊體浩, 張煜

(1.西北工業大學 航空學院, 陜西 西安 710072; 2.西北工業大學 無人系統技術研究院, 陜西 西安 710072)

近幾十年來，波音、空客等飛機設計公司在民用客機典型布局的設計方面開展了大量研究和設計實踐，使得這一類布局的氣動性能潛力幾乎被完全發掘出來。同時，航空業對減少燃油消耗和溫室氣體排放的要求越來越高，這就促使飛機各部件的設計愈加精細化，新技術和新布局的研究趨向實用化[1]。層流技術作為眾多前沿技術的一種，可明顯提高氣動性能，有許多學者看好其前景[2-3]。在一些非升力部件上，層流技術已經實現工程實用，例如Boeing787的自然層流短艙[4]、HondaJet的層流機頭設計[5]。在新布局方面，一些非傳統布局性能潛力較大，也吸引了很多學者。例如使用邊界層吸入(boundary layer ingestion)技術的DoubleBubble布局[6]，其機身復雜曲面、短艙位置和外形都需要進行精細的設計。在飛行器設計領域以外，我國大力發展高鐵技術，一些學者在高鐵頭部外形設計[7]中也使用了氣動優化設計方法。以上設計問題都涉及到了類圓柱形物體的氣動外形設計，體現出了對于徑向變形和精細化設計的特殊需求。由于這種獨特的設計特征，設計者需要發展更有針對性的設計方法，尤其是幾何外形參數化方法。

作為氣動優化設計方法的重要組成部分，參數化方法在近年來發展出了多種針對機翼類部件的較為成熟的具體方法[8]，但仍缺少專門針對圓柱類物體開發的參數化方法，在參數化描述能力、靈活性、便捷性方面還需要改善。基于CAD軟件的方法[9]、基于non-uniform rational b-spline(NURBS)的曲面參數化方法[10]、class shape transformation(CST)[11]、free-form deformation(FFD)[12]等幾種方法得到了廣泛應用，但是將之用于圓柱類問題中仍存在一定局限性，例如NURBS方法可以用于圓柱類外形設計，但是考慮到參數化的發展方向是具備針對全機構型等復雜構型的參數化能力，而 NURBS需要對復雜曲面、相交曲面進行處理，因此難以拓展應用于更復雜的外形中；Kulfan等人基于CST方法研究了機身氣動特性[13]，Fang、Robinson等人分別研究了基于CST的短艙設計方法[14-15]，參數化能力良好，但是CST方法在復雜曲面和相交曲面上應用也有一定難度；何小龍等人使用EFFD方法對單獨短艙剖面進行參數化并進行軸對稱自然層流短艙設計，但是缺少對三維非軸對稱短艙外形的研究[16]。以上方法都是在笛卡爾坐標系下進行變形，對于圓柱體徑向變形的處理能力偏弱。參數化方法的研究還需要考慮到如何拓展應用于復雜構型，例如對于機翼-掛架-短艙構型的設計問題，FFD具有使用便利的優勢，因此在此類構型的優化設計中已經有所應用[17]。

FFD最早由Sederberg于1986年提出[12]，早期主要應用于計算機圖形學方面，引入氣動優化方向以后也得到了較為廣泛的應用。NURBS free-form deformation(NFFD)[18]是其中應用較多的一種改進。雖然NFFD可使用圓柱形控制框，但仍然是在笛卡爾坐標系下進行變形。一方面，二者對于圓柱類物體的參數化能力弱，變形特點不適應于圓柱外形；另一方面，對于框的邊界處的導數連續問題的處理方法難以用于圓柱物體[12]。為了得到光滑連續的外形，導數和曲率連續特性是需要考慮的因素。Ahn等人提出了一種基于修改公式的使用圓柱形控制框的FFD方法[19]，在圓柱周向使用二次B樣條以保證周向導數連續。此方法是在笛卡爾坐標系下進行變形，變形特點并不理想，而且對公式進行了修改，只能局限于對圓柱類外形的應用。

本文在NFFD方法基礎上，增加坐標轉換步驟并使用虛擬框策略，從而將NFFD擴展為適用于軸對稱和非軸對稱圓柱外形的CYFFD方法，對比分析了二者的變形能力、導數保持能力，并進行若干參數化變形、擬合、優化示例研究。

1 CYFFD方法

在圓柱形物體上直接使用NFFD方法主要有2個方面的問題：

1) NFFD的變形方式著重于沿坐標軸方向或三者的線性組合，在圓周向或直徑方向的變形能力較弱，或者需要繁瑣的特殊處理，因此會導致所需要設計變量的數目較多、適用性較差；

2) 為了對圓柱表面外形進行精細設計，生成控制框,如何對控制框邊界處的外形進行設計并且保持曲率連續是一個需要解決的問題。

針對這兩方面的問題，本文基于Lamousin等人提出的NFFD[18]方法，引入坐標轉換和虛擬框方法得到了CYFFD方法。本節首先對CYFFD進行介紹，后文將對二者進行詳細的對比分析。CYFFD所使用的核心公式與NFFD類似，其使用步驟與NFFD基本相同，主要差異來源于新引入的坐標轉換和虛擬框方法，具體使用步驟如圖1所示。

圖1 CYFFD使用步驟示意圖

(1) 建立CYFFD控制框對于表面任意一點的全局坐標X,也就是幾何外形的笛卡爾坐標。在全局坐標下建立一個或者多個FFD控制框Pi,j,k=(xi,j,k,yi,j,k,zi,j,k),控制框沿著i,j,k3個方向分別有l+1,m+1,n+1個控制點。另外,還需要為控制框指定圓柱坐標系的原點和坐標方向。

(2) 坐標轉換、虛擬框生成

將控制框的坐標P、變形目標坐標X轉換到圓柱坐標系下。坐標轉換公式如公式(1)所示,其中T是坐標轉換函數。

Pcy=T(P)

Xcy=T(X)

(1)

選取若干個控制點作為虛擬控制點,形成增廣的控制框Pcyex。坐標轉換和虛擬框的具體方法見下文。

(3) 求解參數坐標

使用Pcyex,Xcy形成映射公式(2),并使用牛頓迭代方法求解得到參數坐標(ucy,vcy,wcy)。

Xcy(u,v,w)=

(2)

式中,Wi,j,k是每個控制點的權重系數,Bip,Bjq,Bkr分別是p,q和r階(p+1、q+1和r+1次)NURBS基函數。

(4) 對控制框進行變形

(5) 得到變形后的曲面

(6) 坐標轉換

1.1 坐標轉換方法

假設生成的控制框如圖2所示,其中的全局坐標系即笛卡爾坐標系oxyz,與框固連的笛卡爾坐標系o′x′y′z′,以及圖3顯示的基于圓柱框建立的圓柱坐標系oθrh。

圖2 CYFFD控制框示例

圖3 圓柱坐標系布置

笛卡爾坐標系轉換到圓柱坐標系的過程可分為2個步驟：①從oxyz向o′x′y′z′的轉換,包括平移和旋轉;②從o′x′y′z′向oθrh轉換。該轉換過程以及逆向轉換過程見公式(3)定義。

Acy=T(A)=T2(T1(A))

(3)

其中點A=(x1,y1,z1)T是oxyz坐標系下任意一點,Acy是A在oθrh坐標系中的坐標,o′x′y′z′的坐標原點在oxyz中的坐標是o′=(ox1,oy1,oz1)T。公式(3)中的坐標轉換函數T及其反函數T-1的定義如公式(4)所示:

(4)

式中，A′是A在o′x′y′z′中的坐標,P-1,Q-1分別是P和Q的逆。P的定義如公式(5)所示:

(5)

式中，e1,e2,e3是oxyz的坐標軸方向單位矢量,f1,f2,f3是o′x′y′z′的坐標軸單位矢量。

Q是變換函數,其作用是實現公式(6)所示的映射:

(6)

1.2 虛擬框方法

為了獲得光滑連續的幾何外形,導數和曲率連續是外形設計中需要考慮的問題。因此需要一種方法既能夠實現對圓柱類外形的變形,同時保持導數、曲率連續。根據FFD理論,在控制框邊界處,如果想要保持導數和曲率連續,則需要保持邊界處和相鄰的一些控制點坐標不變[12],這一要求會使得這些控制點無法移動,也就無法作為參數化的設計變量。

圖4顯示了一種針對圓柱類外形的控制框布置形式,圖中實線是控制框邊界,虛線是控制框內部,粗線是首尾重合的兩端邊界。如果框包裹著圓柱類外形,粗線就必然和外形相交。如果使用NFFD并移動粗線上的控制點,曲面和粗線相交的位置就會存在導數連續性問題。虛擬框方法就是針對這一問題提出。

圖4 圓柱框拓撲示意圖

虛擬框方法利用一些控制點作為虛擬控制點,從而形成一個增廣框,也就使得曲面外形被完全包裹在控制框中。圖5顯示了一個控制框示例和虛擬框點的選取方式,其中包裹著一個圓形作為變形目標。其中C,D,E,F,G,H,I,J,K是人工布置的控制框點,A,B,L,M是取I,J,D,E的周向坐標,然后疊加2π得到。這些點在笛卡爾坐標系下會重合,而在圓柱坐標系下會分散開來,如圖5下方的直線所示。

圖5 周向虛擬框控制點選取示例

圖6顯示了虛擬控制框在圓柱坐標系下的情況。沿著角坐標θ,陰影區域對應著用戶生成的控制點坐標,而淺色區域是虛擬控制點覆蓋的區域。虛擬控制點的數目會影響在邊界處的連續性的階數,如采用一個虛擬控制點,則可保持導數連續,此處示例采用2個虛擬控制點,可以保證曲率連續,這一點可以類比NFFD的導數連續性條件。

圖6 圓柱坐標系下三維虛擬框示例

虛擬框方法要求在框變形的步驟中進行特殊處理:如果I,J,D,E的點坐標發生變化,A,B,L,M也隨之移動。例如保持I和A之間的2π角坐標差量不變,以及徑向、周向坐標保持相等,在笛卡爾坐標系下I和A會始終保持重合。

另外,虛擬框方法也可以用于多個控制框交界處,用于保持多個控制框之間的導數或曲率連續。

2 NFFD與CYFFD對比分析

本節通過理論和變形示例的分析,對比NFFD和CYFFD在變形能力、導數保持特性兩方面的異同。

2.1 坐標變換的意義

本節通過分析參數空間的形狀,分析坐標變換方法對CYFFD變形能力的影響,并與NFFD進行對比分析。圖7、圖8中的陰影區域是參數坐標(ucy,vcy,wcy)各自取值為[0,1]所覆蓋的參數空間,這個空間的外表面就是ucy=0,ucy=1,vcy=0,vcy=1,wcy=0,wcy=1的6個曲面。此處基函數都使用了均勻節點矢量,并在節點矢量起始和結束位置使用多重節點。在這個空間中,控制點與曲面點的距離越近則影響越大。其中的粗實線表示框的邊界,虛線表示框的內部線。假設θ為順時針方向,如圖7a)所示。

圖7 NFFD控制框的數目對參數空間的影響

圖7顯示了8個、4個、2個、1個NFFD控制框的情況。圖7b)中,θ=0°和θ=45°這2個位置的控制點的控制能力明顯不同。圖7c)、圖7d)分別顯示了2個及1個控制框的情況,如果θ=45°,θ=135°等位置的控制點進行徑向變形,會導致外形發生非軸對稱的變形,喪失了基礎外形的軸對稱特性。另外,這些控制框布置方式都無法保持曲面跨邊界的導數連續特性。

圖8顯示了CYFFD的參數空間形狀不受控制框的數目影響,每一個控制點對外形都有著近似相同的影響。而且,即使沿著θ方向非均勻布置控制框,其參數空間仍然會是相同的圓形,不過其變形效果則會是非面對稱的。

圖8 CYFFD控制框的數目對參數空間的影響

從以上觀察可以看出,NFFD用于圓柱外形參數化時對控制框布置形式非常敏感,各控制點的影響有所差異,而且邊界位置的導數連續性難以保證;CYFFD則對控制框布置形式相對不敏感,各控制點影響基本類似。

2.2 虛擬框方法的作用

本節使用圓柱示例來對NFFD和CYFFD在處理框邊界處導數連續性的能力進行對比分析。圖9顯示了控制框的布置情況,圖中與若干控制點重合的圓形就是目標外形,而四周的圓形點就是控制點。對于NFFD,布置多塊組合控制框如圖9所示,圖中的陰影區域就是一個塊,沿著θ方向布置了8個塊。虛線及其聯接的控制點是變形后的控制框點,其z方向位移作為設計變量。而CYFFD和NFFD使用同樣的控制點,區別只是把所有塊都合并為1個塊,并使用2個虛擬控制點,拓撲結構類似于圖4所示。

圖9 控制框布置

圖10a)顯示了控制點的變形量為0.1,0.3,0.5時,NFFD及CYFFD的變形結果截面,圓形實線是基礎外形。圖10b)中顯示虛線方框處的放大圖,從中可以看出,隨著變形量增大,NFFD在控制框邊界處的導數不連續問題愈加明顯和嚴重,而CYFFD始終保持了導數連續。

圖10 NFFD和CYFFD變形效果對比

3 CYFFD變形示例

有一些學者進行過FFD參數化方法等方法的擬合目標翼型的對比研究[20],表明了FFD方法對于翼型的描述能力較強。對于CYFFD,每個圓周向位置都可以視作一個翼型截面,沿著徑向進行變形也就等效于在這個截面內對翼型進行變形,因此CYFFD在這個截面內會具有與NFFD類似的變形能力。對NFFD的擬合測試結論在一定程度上可以代表CYFFD對周向任意截面的參數化能力,亦即軸對稱曲面的參數化能力。

本節通過選取若干變形算例、短艙外形擬合算例、優化算例測試來說明CYFFD的參數化性能。

3.1 圓柱示例

第一個示例采用直徑為1的圓柱曲面外形進行變形測試。控制框布置如圖2所示,周向的首尾各自使用了2個虛擬框點,即圖5所示。從圖11b)可以看出CYFFD可以單獨進行嚴格的徑向變形,而且能夠保持軸對稱特性;圖11c)表明通過控制點的周向移動,可以實現扭轉變形;圖11d)表明通過徑向、周向、軸向組合控制方式,能夠變形得到復雜的曲面外形,且變形結果在各個方向都光滑連續。

圖11 圓柱變形示例

3.2 機身參數化示例

機身參數化示例演示了CYFFD變形和NFFD變形的組合使用,目的是表明二者可以協同工作,從而實現復雜的變形目標。由于CYFFD主要在圓柱坐標系下工作,因此無法實現平移、縮放、旋轉等笛卡爾坐標系下的操作,所以此算例的目的在于驗證CYFFD和NFFD協同使用的能力,既具備圓柱坐標系下的變形能力,也不會損失已有的NFFD變形能力。

這里選用了圓柱加半球的基礎外形如圖12a)所示,布置控制框并使用CYFFD進行變形和拉伸得到中間結果如圖12b)所示,然后使用NFFD進行變形,從而得到類似于飛機頭部外形的曲面圖12c)所示。需要說明的是:CYFFD和NFFD可以各自獨立使用,也可以組合使用,這里只是用這個例子說明CYFFD具備與NFFD組合使用的能力。

圖12 機身變形示例

在這個例子中CYFFD及NFFD被先后使用,在其他情況下可以將二者同時使用。假設存在多個控制框時,可以對其中一些控制框使用NFFD,而對另外一些控制框使用CYFFD。例如對于機身-機翼-掛架-短艙構型,可以布置多個控制框,機翼和掛架使用NFFD,而機身和短艙可以使用CYFFD。

3.3 短艙變形示例

第三個算例是短艙變形示例,目的是考察CYFFD在工程應用中的效果。圓形的發動機進氣道有助于實現更高的進氣質量,例如發動機設計者需要考慮總壓畸變等指標。但是在實際工程中,會由于存在一些其他工程約束導致短艙外形無法制造為軸對稱外形。例如Boeing737客機的發動機尺寸增大導致距離地面過近,因此選用了非軸對稱短艙外形。

此處采用CYFFD進行徑向的變形,從而得到類似于Boeing737客機短艙的非軸對稱外形。以DLR-F6模型[21]的短艙為基礎外形,布置控制框如圖13a)所示,變形結果如圖13b)所示。在這個示例中,CYFFD將通過截面控制點進行短艙截面精細變形,通過若干控制點的平移實現較大范圍變形。

圖13 短艙變形示例

3.4 短艙外形擬合示例

本節采用短艙外形擬合算例,以說明CYFFD對于非軸對稱短艙的參數化能力。

擬合目標采用common research model(CRM)的機翼-機身-掛架-短艙構型中的短艙外形。實際操作中需要單獨取出其中的短艙外形,并填補缺失的掛架位置的曲面。前緣唇口的近似圓心作為坐標系原點,并旋轉短艙使得出口面垂直于x軸,坐標系方向見圖14。該短艙外形近似圓柱,但仍然是一個非軸對稱外形。

基礎短艙外形采用CRM短艙的唇口和后緣構造線,并在各個周向位置使用NACA0008翼型生成曲面。

擬合結果命名為擬合短艙(fitted nacelle)。擬合操作采用最小二乘擬合的方法,所需要求解的方程組為Ax=B。雅克比矩陣A的每一項是:任一點的x坐標(y,z同理)對于某個設計變量(此處就是控制點位移)的偏導數,使用(2)式右端項并舍去控制點Pcyex即可計算得到,B是目標外形和基礎外形的坐標差值向量。假設短艙表面點數為m,FFD框的設計變量數目為n,那么A是3×m行(三維空間)、n列,x是n行的列向量,B是3×m行的列向量。使用最小二乘法求解得到解x,進行框變形就得到擬合短艙的外形。

圖14顯示了變形前后的外形和控制框,可以看出擬合外形和目標外形非常接近,CYFFD擬合效果良好,證明其參數化能力較強。為了提高對頭部的擬合能力,在接近唇口處布置更密集,在弦向的其他位置使用近似均勻分布的控制點。

圖14 擬合前后的短艙、控制框對比

圖15a)、圖15b)顯示了z=0和y=0平面的短艙截面,即半徑最大處的縱向截面和橫向截面,可以看出擬合短艙和目標短艙的截面幾乎重合,最大誤差出現在唇口位置,在其他弦向位置的擬合誤差極小。更多的控制點或者更優的控制點分布會有助于減小擬合誤差。對于本測試算例而言,該測試結果已經可以表明CYFFD參數化能力較強,擬合效果良好。

圖15 目標和擬合短艙對比

3.5 圓柱頭部優化算例

本節對一個圓柱頭部外形進行氣動優化設計,以初步驗證CYFFD的實用性并測試優化設計的效果。本方法的后續研究內容是層流短艙、層流機頭、機身后體等優化設計問題,因此這里只采用了圓柱頭部作為初步的驗證算例。

本算例的幾何外形和設計工況均為作者所選取,頭部外形長度1 m,等直段長度2 m、半徑0.4 m,尾部長度1 m,整個外形是軸對稱的旋成體。頭部幾何形狀可用表達式r=0.4x0.5描述,其中的r是旋成體半徑,x取值范圍是[0,0.9]。x=[0.9,1.1]的范圍內,使用樣條形成頭部和等直段的光滑過渡,尾部外形用Von Karman曲線,幾何外形如圖16中小圖所示。

設計狀態是:Ma=0.8,攻角為0°。流場求解采用團隊開發的Euler求解器,使用二階中心差分格式、diagonally dominant alternating direction implicit(DDADI)隱式算法,并使用多重網格和隱式殘值光順以加速收斂。計算網格如圖16所示,物面第一層網格高度1×10-3,圓形遠場直徑約120 m,網格單元總數約12萬。計算參考面積3.2 m2。

圖16 頭部外形及網格 圖17 控制框布置

使用序列二次規劃優化算法、基于反向距離插值的動網格方法、基于伴隨方法的梯度求解方法以及本文提出的CYFFD方法構建優化設計系統,所涉及的以上方法及代碼詳細介紹見文獻[22]。優化設計問題數學模型建立如下:

minCd

w.r.txshape

FFD控制框布置如圖17所示。設計變量xshape是每個等x截面內的控制點徑向位移量,變形效果是使圓柱半徑縮小和放大,頭部的前7個截面作為設計變量,無幾何約束。對于這種控制框布置,如果只使用一個塊,使用NFFD也可以進行變形和優化,不過在對稱面位置會存在導數不連續問題,也就是對稱面會出現一個導數間斷的棱。此算例用來驗證CYFFD的變形特征和用于優化的可行性。

優化收斂歷史如圖18所示,圖中中顯示了阻力收斂曲線。優化后阻力參數從0.001 85減小至0.001 13,優化結果可以說明CYFFD能夠良好地實現參數化并用于優化設計。

優化結果與初始外形的對稱面幾何和Cp對比如圖19所示。優化后的頭部中段外形更加飽滿,這一幾何特征削弱了在x=1.0附近的急劇氣流加速,使得Cp峰值減小,激波得以削弱,因此阻力得以減小。

圖18 優化收斂歷史圖19 優化結果與初始構型對比

優化前后的馬赫數云圖對比如圖20所示。根據等壓線分布來看,初始構型在x=1.0附近相對密集,而優化后更加稀疏,與Cp圖趨勢對應,表明激波強度有所減弱。

圖20 優化前后馬赫數云圖對比

4 結 論

CYFFD采用和NFFD相同的核心映射公式，并使用坐標轉換和虛擬框2種輔助方法提高了對于軸對稱和非軸對稱圓柱外形的參數化能力，是對NFFD功能的擴展。經過圓柱外形示例、機身頭部變形示例、短艙變形和擬合測試、圓柱頭部氣動優化算例，研究得到以下結論：

1) 使用坐標轉換方法可使CYFFD具備良好的徑向、周向變形能力，能夠充分捕捉圓柱類外形的變形特點；虛擬框方法實現簡單、效果良好，在所有測試算例中都能夠保持一階導數、曲率連續，變形后曲面光滑連續，參數化能力較強。

2) CYFFD能夠和NFFD交替使用或者組合使用，可以提供對多部件、多特征復雜構型的參數化能力，其描述能力、靈活性、通用性較強。

3) CYFFD用于目標外形擬合和氣動優化設計都能夠達到良好的效果，在飛行器圓柱類部件的精細化設計問題中具有一定工程實用價值。