斜齒輪修形對負載扭矩和嚙合錯位的敏感性

袁冰, 常山,2, 劉更, 劉嵐, 常樂浩

(1.西北工業大學 陜西省機電傳動與控制工程實驗室, 陜西 西安 710072；2.中國船舶重工集團第七〇三研究所, 黑龍江 哈爾濱 150078;3.長安大學 道路施工技術與裝備教育部重點實驗室, 陜西 西安 710064)

齒輪傳動系統的振動噪聲一直是機械工程領域關注的熱點問題。作為齒輪系統減振降噪的主要手段之一，齒面修形技術被廣泛應用于齒輪的設計與制造，并得到了國內外科研人員深入廣泛的研究。

早期的齒輪修形主要為齒廓修形并大多應用于直齒輪，其概念的提出可追溯到1938年[1]。經過數十年的研究與發展，目前直齒輪齒面修形的相關研究主要涉及齒廓修形直齒輪準靜態接觸分析[2]，降低傳遞誤差幅值的直齒輪齒廓修形減振設計[3]，齒廓修形直齒輪系統動態特性分析及優化[4]。

不同于直齒輪，斜齒輪的接觸線與齒輪軸線不平行，其齒面接觸特性的計算為較復雜的三維接觸問題。Conry和Seireg基于柔度矩陣法提出了考慮輪齒修形的圓柱齒輪齒面載荷分布計算方法[5]，并得到了其他學者的推廣和發展[6]。基于TCA和LTCA技術，蔣進科等采用修形曲面疊加理論齒面構造斜齒輪對角修形齒面，以降低斜齒輪副扭轉振動為優化目標，采用改進二階震蕩粒子群優化算法確定最佳修形參數[7]。Wang等采用切片法和能量法建立了考慮齒廓誤差和齒面修形的斜齒輪嚙合剛度和傳遞誤差計算模型[8]。Maatar和Velex分析了齒廓修形和齒向修形斜齒輪系統的準靜態和動態特性[9]。Bruyère等以準靜態傳遞誤差幅值最小為目標，推導了窄直斜齒輪齒廓修形最佳修形量和修形長度的解析表達式[10]。

綜上所述，現有的斜齒輪系統相關研究大多著重于討論恒定負載扭矩和理想嚙合狀況下的齒面修形問題。由于齒面修形的最佳修形參數和輪齒變形量緊密相關，而系統負載扭矩決定了輪齒變形量的大小。因此，在不同負載扭矩下的最佳修形參數也會有所不同。在實際工業應用中，尤其在汽車行業和船舶動力傳動裝置中，齒輪系統的負載會隨著汽車檔位或者船舶航行工況的變化而產生較大變化。與此同時，由于安裝誤差和系統變形等不可避免的因素，齒輪的實際嚙合狀況與理想狀態也有較大差異。因此，考察修形齒輪系統在不同負載扭矩和非理想嚙合狀態下的減振效果具有重要的工程實際意義。

為此，本文設計了斜齒輪齒廓修形、齒向修形和對角修形3種修形齒面，結合齒面承載接觸分析方法和齒輪-轉子-軸承系統動力學模型分離出系統振動激振力，確定了設計負載扭矩和理想嚙合狀況下的最佳修形參數，考察了不同修形方式對齒面接觸特性的影響，并著重對比分析了在多負載、不同嚙合錯位量和多轉速工況下3種修形方式的減振效果，為進一步齒面修形穩健設計提供參考。

1 齒面修形設計

斜齒輪齒面修形方式主要有齒廓修形、對角修形和齒向修形等。其中，齒廓修形和對角修形可直接用來降低斜齒輪系統的振動，而齒向修形則多被用來改善齒面載荷分布。實際上，齒向修形對斜齒輪系統振動也有較大影響，合理的齒向修形也可以用來改善斜齒輪系統的動態性能。斜齒輪3種齒面修形如圖1所示。

圖1 齒面修形示意圖

圖1所示3種修形方式所構造的修形齒面均需要已知修形量、修形長度和修形曲線才能確定。其中，修形量和修形長度可通過優化來確定，而修形曲線類型必須進行預設定。修形曲線的通用表達式為

(1)

式中,emax為最大修形量,xi表示接觸點i距離修形起始位置的距離,l表示修形長度。n表示修形曲線的類型,n=1時為直線修形,n=2時為二次拋物線修形。本文采用二次拋物線修形方式。

2 齒輪嚙合錯位

齒輪傳動系統是一個較復雜的機械裝置、軸承間隙、安裝誤差和制造誤差等不可避免又難以測量的因素將會嚴重影響輪齒的嚙合狀況。當系統所受負載較大時,軸系的彎曲扭轉變形,軸承變形和箱體變形同樣會造成輪齒的實際嚙合狀況與理想狀態有所不同。

文獻[11]詳細歸納總結了造成齒輪產生嚙合錯位的種種因素并指出齒輪的嚙合錯位主要可以分為3種類型,即中心距誤差、垂直于嚙合線方向的角度誤差以及平行于嚙合線方向的角度誤差。平行于嚙合線方向的角度誤差直接影響齒面接觸的法向間隙,其影響等效于齒輪螺旋線偏差,對齒面接觸狀態的影響最大。因此,本文嚙合錯位模型僅考慮平行于嚙合線方向的角度誤差,如圖2所示。

圖2 嚙合錯位示意圖

3 承載接觸分析和振動激振力

3.1 時變嚙合剛度和綜合嚙合誤差

斜齒輪系統的準靜態承載嚙合過程可通過齒面承載接觸分析模型模擬。根據齒輪嚙合原理,確定齒輪嚙合面并劃分嚙合位置,將各嚙合位置的接觸線離散為一系列接觸點,從而將斜齒輪線接觸問題轉化為點接觸問題。以總重合度為2～3的斜齒輪副為例,在一個嚙合周期內,齒輪副處于雙齒和三齒交替嚙合狀態,其嚙合面劃分及接觸點布置如圖3所示。

圖3 斜齒輪副嚙合面及接觸點布置

基于有限元子結構法計算考察齒面法向宏觀變形柔度矩陣,再通過二元插值得到各嚙合位置的接觸點法向宏觀變形柔度矩陣。通過接觸力學理論計算考察接觸點的局部接觸變形,根據齒輪各嚙合位置接觸點的變形協調條件,可建立齒面承載接觸方程為

(2)

式中,λglobal為接觸點宏觀變形柔度矩陣,ulocal為接觸點局部接觸變形向量,F為接觸點載荷向量,xs為靜態傳遞誤差,ε為接觸點初始間隙向量,對于嚙合齒輪副,各接觸點的間隙量即為嚙合齒面該位置的輪齒誤差量或修形量,d為加載后接觸點剩余間隙向量。通過迭代法求解該非線性方程組,可得到各嚙合位置齒面載荷分布和靜態傳遞誤差,進而計算齒輪時變嚙合剛度和綜合嚙合誤差[12]。

3.2 振動激振力的確定

忽略箱體柔性和齒輪系統的耦合關系,則斜齒輪系統為齒輪-轉子-軸承系統。考慮齒輪系統的功率流動方向以及質量和慣量呈空間分布的特點,基于有限元法基本思想,將系統分解為嚙合單元,軸段單元和軸承單元3種基本單元。軸段單元采用2節點12自由度的空間Timoshenko梁模擬,軸承單元由軸承剛度和軸承阻尼組成,從而使軸段節點與箱體或基礎相連接。

建立各單元的動力學模型之后,通過有限單元法可組裝得到斜齒輪系統的廣義有限元動力學模型[13]。系統運動微分方程可表示為

(3)

式中,X為系統廣義坐標,MG為系統質量矩陣,CG為系統阻尼矩陣,KG為系統剛度矩陣,EG為系統綜合嚙合誤差列向量,FG為外載荷列向量。

(3)式為參變微分方程組,通過近似變換[14],可近似改寫為

(4)

式中,KG0為系統剛度均值矩陣,Xs(t)為系統靜位移列向量。

(4)式右端項可改寫為由均值項與波動項疊加形式

KG0Xs(t)=KG0Xs0+KG0ΔXs(t)

(5)

式中,將KG0ΔXs(t)定義為振動激振力,其決定了系統振動的劇烈程度。

(4)式為定常微分方程組,可通過傅里葉級數法快速求得系統振動響應穩態解[12]。

4 模型對比驗證

齒面承載接觸分析的計算結果為齒輪-轉子-軸承系統提供動態激勵,進而預測系統振動,而靜態傳遞誤差是齒面承載接觸分析的直接計算結果,其波動量一直是國內外科研人員重點關注的參數之一。因此,為驗證本文計算模型的正確性,分別計算了文獻[15]中未修形和齒廓齒向均進行7.5 μm鼓形修形的斜齒輪副在不同負載扭矩下的靜態傳遞誤差波動量,并與文獻[15]中的計算結果進行對比,如圖4所示。結果表明:對于無修形和有修形斜齒輪副,本文方法的計算結果和文獻的計算結果均具有較高的吻合度。因此,本文方法可以用來計算無誤差和有誤差的斜齒輪副的齒面承載接觸特性。

圖4 不同負載扭矩下靜態傳遞誤差波動量對比

5 算例分析

5.1 算例描述

圖5所示為斜齒輪-轉子-軸承系統示意圖,系統由2根階梯軸,1對斜齒輪副和2對軸承組成,功率從軸1左端輸入,由軸2右端輸出。齒輪基本參數如表1所示,軸系基本參數如表2所示。

圖5 斜齒輪-轉子-軸承系統

參數名稱主動輪從動輪 齒數2958 模數55 壓力角/(°)2020 螺旋角/(°)2525 齒頂高系數11 頂隙系數0.250.25 齒寬/mm5050 轉速/(r·min-1)2 0001 000 負載扭矩/(N·m)7501 500

表2 軸系參數 mm

根據軸段結構,將軸1和軸2均離散為13個軸段單元,共26個軸段單元。有限元節點從軸1左端開始編號,在軸2右端終止編號,共28個節點,168個自由度。軸承1～4分別位于4,12,17和25號節點,主動輪和從動輪分別位于8和21號節點處,通過斜齒輪副時變嚙合剛度和綜合嚙合誤差相連接。2和27號節點分別為功率輸入節點和功率輸出節點。

5.2 最佳修形參數

本文在3.2節確定了決定系統振動的振動激振力表達式，其由齒輪時變嚙合剛度和靜態傳遞誤差波動量的乘積決定。因此，最佳修形參數的確定實際上是求解以振動激振力波動量最小為目標的數學規劃問題，即在修形參數的變化范圍內尋求使振動激振力波動量最小的最優解。

由于振動激振力采用齒面承載接觸分析方法計算且計算效率較高，同時為更直觀地觀察修形參數變化對目標函數的影響，本文采用直接掃略計算的方法確定設計負載扭矩和理想嚙合狀況下的最佳修形參數。將修形長度搜索區間均勻離散化，以斜齒輪嚙入位置綜合變形量的兩倍作為修形量的上邊界，修形量以1 μm為步長進行二維掃略計算，可得到齒廓修形、齒向修形和對角修形修形參數對振動激振力波動量的影響。可以發現，在3種修形方式相應的云圖中，均存在一條窄帶區域使系統振動激振力波動量降至200 N以下。限于篇幅，僅給出振動激振力波動量隨齒廓修形參數的變化圖，如圖6所示。可得到齒廓修形最佳修形量為15 μm，最佳修形長度為11.97 mm，齒向修形最佳修形量為13 μm，最佳修形長度為21 mm，對角修形最佳修形量為10 μm，最佳修形長度為17.09 mm。

圖6 齒廓修形參數對振動激振力波動量的影響

5.3 修形對齒面接觸的影響

在設計負載扭矩和理想嚙合狀況下，齒廓修形、齒向修形和對角修形對斜齒輪時變嚙合剛度的影響如圖 7所示。可以看出，齒廓修形和齒向修形均使斜齒輪嚙合剛度明顯降低，這是由于齒廓修形最大修形量位于輪齒的齒頂和齒根，齒向修形最大修形量位于齒寬方向的兩端，輪齒受載后齒面局部區域并不參與接觸。而對角修形的最大修形量位于斜齒輪的嚙入和嚙出位置，輪齒受載后處于全齒面接觸狀態。

圖7 不同修形方式下時變嚙合剛度

在設計負載扭矩和理想嚙合狀況下，3種修形方式對斜齒輪靜態傳遞誤差和綜合嚙合誤差的影響分別如圖8和圖9所示。可以看出，3種修形方式均使靜態傳遞誤差波動量明顯降低，而齒廓修形斜齒輪傳遞誤差均值最大，齒向修形次之，對角修形最小且在部分嚙合位置與理想齒輪非常接近。綜合嚙合誤差為考慮斜齒輪多對輪齒交替嚙合時的齒面誤差實際作用量，可以發現，3種修形方式相應的綜合嚙合誤差曲線與時變嚙合剛度曲線形狀非常接近，同時相應的齒輪綜合嚙合誤差均明顯小于齒輪的最大修形量。

圖8 不同修形方式下靜態傳遞誤差

圖9 不同修形方式下綜合嚙合誤差

5.4 修形對負載扭矩的敏感性

本節采用5.2節所得最佳修形參數對斜齒輪進行修形，通過考察修形斜齒輪系統在7種不同的負載扭矩工況下的系統振動激振力和動態響應來研究修形對負載扭矩的敏感性。負載扭矩分別為250 N·m,500 N·m,1 000 N·m,1 500 N·m,2 000 N·m,2 500 N·m和3 000 N·m時，系統振動激振力波動量如圖10所示。

圖10 不同負載扭矩下振動激振力波動量

可以看出，未修形齒輪系統的振動激振力波動量隨著負載扭矩的增大呈線性增加趨勢。在額定負載扭矩1 500 N·m工況下，3種修形方式的系統振動激振力波動量均達到最小且非常接近。隨著負載扭矩的減小，振動激振力呈現增大趨勢，當負載扭矩小于500 N·m時，3種修形方式的振動激振力波動量將大于未修形齒輪系統。當負載扭矩大于1 500 N·m時，修形齒輪系統的振動激振力波動量呈線性增加趨勢，但均明顯小于未修形齒輪系統。當負載扭矩達到2 500 N·m時，與未修形齒輪系統相比，齒廓修形、齒向修形和對角修形齒輪系統的振動激振力波動量分別下降了61.6%，65.3%和61.5%。

負載扭矩為500 N·m,1 500 N·m和2 500 N·m時，不同轉速下的動態傳遞誤差均方根值依次如圖11～圖13所示。

圖11 負載扭矩為500 N·m時動態傳遞誤差均方根

圖12 負載扭矩為1 500 N·m時動態傳遞誤差均方根

圖13 負載扭矩為2 500 N·m時動態傳遞誤差均方根

可以發現，當負載扭矩為500 N·m時，在大多數轉速下，3種修形齒輪系統振動均大于理想齒輪，這是由于修形引入了過大的主動誤差激勵。齒廓修形和齒向修形斜齒輪系統共振轉速明顯降低，這是由于輕載時這2種修形使齒面實際接觸的區域減小過多而導致嚙合剛度均值下降過多造成的。當負載扭矩為1 500 N·m時，不同轉速下的3種修形齒輪系統振動均明顯小于理想齒輪系統，在額定轉速下，動態傳遞誤差均方根值分別降低了94.8%,96.5%和97.4%。當齒輪系統處于重載工況下，即負載扭矩為2 500 N·m時，3種修形方式均仍舊表現出較

好的減振效果，動態傳遞誤差均方根值分別降低了60.1%,61.7%和61.0%。

5.5 修形對嚙合錯位的敏感性

本節采用5.2節所得最佳修形參數對斜齒輪進行修形，通過考察修形斜齒輪系統在7種不同的嚙合錯位工況下的系統振動激振力和動態響應來研究修形對嚙合錯位的敏感性。嚙合錯位分別為0 μm,10 μm,20 μm,30 μm,40 μm,50 μm和60μm時，系統振動激振力波動量如圖14所示。

圖14 不同嚙合錯位量下振動激振力波動量

可以看出，當嚙合錯位量小于30 μm時，理想齒輪的振動激振力波動量變化較小，當嚙合錯位量大于30 μm時，其振動激振力波動量呈近似線性增加趨勢。隨著嚙合錯位量的增加，3種修形齒輪系統的振動激振力均近似線性增加。當嚙合錯位量為30 μm時，3種修形方式使系統振動激振力僅降低了28.9%，33.3%和29.4%。

嚙合錯位量為10 μm,30 μm和50 μm時，不同轉速下的動態傳遞誤差均方根值分別如圖15～圖17所示。

圖15 嚙合錯位為10 μm時動態傳遞誤差均方根 圖16 嚙合錯位為30 μm時動態傳遞誤差均方根 圖17 嚙合錯位為50 μm時動態傳遞誤差均方根

可以看出，當嚙合錯位量為10 μm時，3種修形方式均有較好的減振效果，在額定轉速下，動態傳遞誤差均方根值分別降低了88.7%,80.6%和83.9%。當嚙合錯位量為30 μm時，系統共振轉速略有降低，3種修形齒輪系統振動均顯著增大，僅略小于理想齒輪，在額定轉速下，3種修形方式使動態傳遞誤差均方根值分別僅降低了26.1%,31.6%和23.4%。當嚙合錯位量為50 μm時，系統共振轉速進一步降低，齒廓修形和對角修形幾乎不再有減振效果，在部分轉速下，3種修形齒輪系統的振動與理想齒輪系統基本相等。

6 結 論

1) 基于齒面承載接觸分析方法和齒輪-轉子-軸承系統動力學模型，通過近似變換分離出了系統振動激振力。以振動激振力波動量最小為目標，通過繪制振動激振力波動量隨修形量和修形長度的變化圖，確定了設計負載扭矩和理想嚙合狀況下齒廓修形、齒向修形和對角修形的最佳修形參數。

2) 3種修形方式對齒面接觸的影響差別較大。齒廓修形和齒向修形均會顯著降低齒輪嚙合剛度，而對角修形斜齒輪嚙合剛度與未修形齒輪副非常接近。3種修形方式均使靜態傳遞誤差波動量顯著減小，齒廓修形引入齒面綜合嚙合誤差最大，齒向修形次之，對角修形最小。

3) 在設計負載扭矩和理想嚙合狀況下，3種修形方式均可顯著降低斜齒輪系統動態傳遞誤差均方根值。當負載扭矩大于設計扭矩時，3種修形方式均依舊表現出較好的減振效果。而當負載扭矩過小時，由于齒面修形引入相對過大的主動誤差激勵，修形齒輪系統的振動將大于未修形齒輪系統，且系統共振轉速降低。隨著嚙合錯位量的增加，3種修形方式的減振效果均逐步下降，直至不再具有減振效果，同時，系統共振轉速降低。