含有時(shí)滯控制的準(zhǔn)零剛度隔振器的隔振性能研究

李東海, 趙壽根, 何玉金, 李濤

(北京航空航天大學(xué) 航空科學(xué)與工程學(xué)院, 北京 100191)

振動(dòng)隔離是解決工程振動(dòng)問(wèn)題的重要手段。在目前大量的工程實(shí)際中，普遍采用線性隔振器。由線性隔振理論可知，當(dāng)系統(tǒng)的激勵(lì)頻率與隔振器的固有頻率之比大于1.414時(shí)才具有隔振性能。對(duì)于一些精密儀器而言，如航天器上的光學(xué)元件，低頻振動(dòng)對(duì)其精度影響更大。如采用線性隔振措施，勢(shì)必要降低隔振器的剛度從而實(shí)現(xiàn)低頻隔振。這也會(huì)造成隔振器的靜態(tài)穩(wěn)定性降低。理想的情況是隔振器具有較高的靜態(tài)剛度來(lái)保證靜態(tài)負(fù)載能力，并且具有較低的動(dòng)態(tài)剛度來(lái)增大隔振頻率范圍。高靜態(tài)剛度低動(dòng)態(tài)剛度(high-static-low-dynamic-stiffness,HSLDS)特性可以通過(guò)非線性結(jié)構(gòu)來(lái)實(shí)現(xiàn)[1]。Ibrahim[2]綜述了非線性隔振器的發(fā)展，表明非線性隔振是一個(gè)十分活躍的領(lǐng)域。Liu等[3]在其綜述中也詳細(xì)地闡述了非線性隔振器在微振動(dòng)隔離領(lǐng)域的應(yīng)用。Yang等[4]研究了帶有負(fù)剛度機(jī)構(gòu)的非線性隔振系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為。研究表明增加負(fù)剛度機(jī)構(gòu)能極大地?cái)U(kuò)展隔振頻帶，使系統(tǒng)具有更好的隔振性能。Shaw等[5]用雙穩(wěn)板設(shè)計(jì)了一種輕且有效的高靜態(tài)低動(dòng)態(tài)剛度(HSLDS)的隔振系統(tǒng)，用實(shí)驗(yàn)的方法證明其比等價(jià)的線性系統(tǒng)具有更大的隔振區(qū)域以及更低的固有頻率。彭獻(xiàn)等[6]采用連桿機(jī)構(gòu)作為負(fù)剛度調(diào)節(jié)機(jī)構(gòu)，研究了一種準(zhǔn)零剛度隔振器的設(shè)計(jì)方法。Zhang等[7]將歐拉壓桿作為負(fù)剛度調(diào)節(jié)機(jī)構(gòu)，設(shè)計(jì)了正負(fù)剛度并聯(lián)的隔振系統(tǒng)，不但顯著降低了隔振系統(tǒng)的固有頻率,同時(shí)也改善了系統(tǒng)的阻尼特性。徐道臨等[8]設(shè)計(jì)一款屈曲板型準(zhǔn)零剛度隔振器,該隔振器由豎直的橡膠墊和屈曲的彈簧鋼板組合而成。并針對(duì)承載質(zhì)量的變化會(huì)影響隔振器性能的問(wèn)題,設(shè)計(jì)了具有準(zhǔn)零剛度特性的可調(diào)式非線性氣動(dòng)隔振器[9]。劉興天等[10]提出具有負(fù)剛度特性的歐拉屈曲梁結(jié)構(gòu)并分析其靜態(tài)特性。Carrella等[11-14]和王勇等[15]利用斜置彈簧產(chǎn)生負(fù)剛度特性，并與正剛度彈簧相并聯(lián)組成準(zhǔn)零剛度隔振器。張?jiān)掠16]在有關(guān)非線性隔振系統(tǒng)設(shè)計(jì)理論的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)并驗(yàn)證了一種由正負(fù)剛度并聯(lián)組合得到準(zhǔn)零剛度隔振器。Xu等[17]利用電磁彈簧作為負(fù)剛度元件，設(shè)計(jì)了一種準(zhǔn)零剛度隔振器，該新型隔振器的隔振性能，尤其在低頻區(qū)域，超過(guò)了等價(jià)的線性隔振器。閆建[18]基于屈曲狀態(tài)下工作的歐拉梁能夠提供負(fù)剛度的原理,設(shè)計(jì)了一種將歐拉梁與線性彈簧并聯(lián)的低頻隔振器,使其對(duì)低頻振動(dòng)具有良好的抑制效果。針對(duì)大型車載光電設(shè)備0～20 Hz低頻段振動(dòng),基于準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)隔振原理,杜寧等[19]提出了一種新的低頻水平方向隔振方法。Ishida等[20]提出了一種基于一種具有扭轉(zhuǎn)屈曲模式可折疊圓筒的準(zhǔn)零剛度隔振器。由于準(zhǔn)零剛度具有高靜態(tài)剛度低動(dòng)態(tài)剛度，可以有效地克服傳統(tǒng)非線性隔振器增加隔振頻率范圍和保證靜態(tài)承載力之間的矛盾，近年來(lái)，針對(duì)準(zhǔn)零剛度隔振器的研究變得越來(lái)越熱門。

準(zhǔn)零剛度隔振器有著線性隔振器不可比擬的優(yōu)點(diǎn)，但是相比線性隔振器而言，其共振峰值依然過(guò)大；由于準(zhǔn)零剛度隔振器的固有非線性，所以會(huì)造成系統(tǒng)的跳躍現(xiàn)象，這種不穩(wěn)定性是一種不安全因素，所以在工程實(shí)際應(yīng)用中不期望其出現(xiàn)。因此為了獲得更好的隔振性能，開展準(zhǔn)零剛度隔振器的主動(dòng)控制策略的研究就顯得十分必要。準(zhǔn)零剛度隔振器的動(dòng)力學(xué)特性方程可以用具有三次非線性項(xiàng)的Duffing振子模型來(lái)描述[1,21-24]。目前針對(duì)準(zhǔn)零剛度隔振器的主動(dòng)控制研究相對(duì)較少，但是許多學(xué)者開展了對(duì)Duffing振子和吸振器的主動(dòng)研究[25-28]。通過(guò)時(shí)滯控制可以有效地抑制傳遞到敏感元件上的振動(dòng)。但是針對(duì)準(zhǔn)零剛度隔振器的時(shí)滯控制研究相對(duì)較少，本文在之前的研究基礎(chǔ)上，對(duì)準(zhǔn)零剛度隔振器施加線性位移時(shí)滯控制，在力激勵(lì)的情況下，利用平均法得到了準(zhǔn)零剛度隔振器的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，在此基礎(chǔ)上，分析了時(shí)滯控制參數(shù)對(duì)準(zhǔn)零剛度隔振器的力傳遞率的影響。

1 準(zhǔn)零剛度隔振器動(dòng)態(tài)響應(yīng)

1.1 準(zhǔn)零剛度隔振器

本文采用2個(gè)斜置彈簧作為負(fù)剛度元件與豎直的正剛度彈簧相并聯(lián)形成單自由度的準(zhǔn)零剛度隔振器[1,13]。對(duì)其進(jìn)行線性時(shí)滯位移主動(dòng)控制的結(jié)構(gòu)模型如圖1所示。

圖1 準(zhǔn)零剛度隔振器線性位移時(shí)滯控制結(jié)構(gòu)示意圖

在工作狀態(tài)，斜置彈簧處于水平位置并達(dá)到靜平衡點(diǎn)處[11,13]，其長(zhǎng)度為l。自由狀態(tài)時(shí),距離靜平衡位置的距離為xs;x為負(fù)載質(zhì)量m從靜平衡位置開始的位移。斜置彈簧的原長(zhǎng)為l0。斜置彈簧的剛度為kh,垂直彈簧的剛度為kv,假設(shè)系統(tǒng)的阻尼為線性阻尼,阻尼系數(shù)為c,控制剛度為kc,反饋信號(hào)為系統(tǒng)的線性位移x;f為負(fù)載質(zhì)量m受到的外界激勵(lì)力。

1.2 簡(jiǎn)諧力作用下隔振器的響應(yīng)

準(zhǔn)零剛度隔振器線性位移時(shí)滯控制結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示。為了建模的簡(jiǎn)便性,先考慮無(wú)控制系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性。利用拉格朗日方程可以建立準(zhǔn)零剛度隔振器在簡(jiǎn)諧力激勵(lì)下的動(dòng)力學(xué)方程。隔振器的動(dòng)能為

(1)

現(xiàn)設(shè)靜平衡位置為系統(tǒng)的勢(shì)能零點(diǎn),則該系統(tǒng)的總勢(shì)能為

(2)

拉格朗日函數(shù)可以表示為

(3)

拉格朗日方程表示為

(4)

式中,Fe(t)=Fcos(ωt)為隔振器受到的簡(jiǎn)諧激勵(lì)力,t為時(shí)間,ω為簡(jiǎn)諧激勵(lì)力的頻率。聯(lián)立(3)式和(4)式可得到隔振器的動(dòng)力學(xué)方程

(5)

引入無(wú)量綱參數(shù),可對(duì)(5)式無(wú)量綱化,得到隔振器的無(wú)量綱動(dòng)力學(xué)方程

(6)

(7)

當(dāng)隔振器的位移相對(duì)初始位移為小量時(shí),可以將系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程在靜平衡點(diǎn)處泰勒展開并保留三次精度得到

(8)

(9)

(10)

式中

將ΩT+θ在0～2π之間取平均值得到

(11)

(12)

利用sin2θ+cos2θ=1可以得到系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)特性

(13)

相頻特性方程為

(14)

該受時(shí)滯控制的準(zhǔn)零剛度隔振器的更為詳細(xì)的動(dòng)態(tài)特性研究及穩(wěn)定性分析見文獻(xiàn)[29],為節(jié)省篇幅,本文將不再贅述。

2 準(zhǔn)零剛度隔振器力傳遞率

2.1 力傳遞率

(15)

(16)

一般地,力傳遞率TF定義為傳遞到基礎(chǔ)上的載荷的幅值ft和激勵(lì)幅值fe的比值。即

(17)

將(13)式和(16)式代入(17)式可得含有時(shí)滯線性位移的準(zhǔn)零剛度隔振器的力傳遞率為

(18)

圖2a)中右邊的曲線簇為有線性位移時(shí)滯控制的等效線性隔振器的力傳遞率曲線,左邊曲線簇是含有線性位移時(shí)滯控制的準(zhǔn)零剛度隔振器的力傳遞率曲線。對(duì)比準(zhǔn)零剛度隔振器的力傳遞率曲線和其等效線性隔振器的力傳遞率曲線可知,當(dāng)外界激勵(lì)力為極限載荷時(shí),當(dāng)頻率比Ω<1時(shí),盡管準(zhǔn)零剛度隔振器的力傳遞率比其等效線性隔振器的力傳遞率大,但是依然可以看出來(lái),準(zhǔn)零剛度隔振器的隔振頻率帶依然比線性隔振器的頻率帶寬,而當(dāng)激勵(lì)力的幅值小于極限載荷時(shí),準(zhǔn)零剛度隔振器的隔振頻帶會(huì)更寬,其隔振性能的優(yōu)越性越明顯,該方面的論述詳見參考文獻(xiàn)[1]。

當(dāng)有線性位移時(shí)滯控制時(shí),準(zhǔn)零剛度隔振器低頻段的力傳遞特性相比無(wú)時(shí)滯控制時(shí)的力傳遞率降低,且傳遞率峰值也明顯地降低,由此可以看出時(shí)滯控制的阻尼效應(yīng),且當(dāng)時(shí)滯參數(shù)τ給定在合適范圍內(nèi),隨著控制增益g的增加,其等效阻尼ξeq越大[29],故其傳遞率峰值隨著g的增加而降低,且當(dāng)?shù)刃ё枘嵩酱髸r(shí),其高頻段的力傳遞率越大。相比無(wú)控制系統(tǒng),有時(shí)滯控制情況下的隔振頻率較大,且隨著控制增益的增大有增大的趨勢(shì)。對(duì)比有控制的準(zhǔn)零剛度隔振器與其等效的線性隔振器的力傳遞特性,可以清晰地看到有時(shí)滯控制的準(zhǔn)零剛度隔振器的力傳遞特性要好于等效線性隔振器,尤其是在高頻段內(nèi),準(zhǔn)零剛度隔振器的力傳遞率有很大程度降低。在圖2中也可以看出時(shí)滯控制對(duì)系統(tǒng)線性剛度的影響,其表現(xiàn)在力傳遞率曲線的向右彎曲開始頻率右移,原因在于所選擇的時(shí)滯參數(shù)和控制增益造成了系統(tǒng)的線性剛度系數(shù)增加。盡管如此,有時(shí)滯控制的準(zhǔn)零剛度隔振器的隔振性能依然好于無(wú)控制時(shí)的隔振器,且可以增加系統(tǒng)的靜態(tài)魯棒性。

圖2b)中外部激勵(lì)力為極限載荷。在圖中,靠右的曲線簇為等效線性隔振器的力傳遞率特性曲線,左邊的曲線簇是準(zhǔn)零剛度隔振器的力傳遞率特性曲線。準(zhǔn)零剛度隔振器及其等效線性隔振器的力傳遞率特性曲線隨著時(shí)滯參數(shù)τ的變化規(guī)律和圖2a)中的變化規(guī)律類似。由此可見,對(duì)準(zhǔn)零剛度隔振器施加線性位移時(shí)滯控制不僅可以有效地改善系統(tǒng)的力傳遞率特性,而且可以增加系統(tǒng)的靜態(tài)魯棒性。

圖2 含有線性位移時(shí)滯控制的準(zhǔn)零剛度隔振器力傳遞率曲線

2.2 傳遞率峰值

準(zhǔn)零剛度隔振器的傳遞率峰值發(fā)生在系統(tǒng)的位移響應(yīng)最大時(shí)[1],而當(dāng)系統(tǒng)的位移響應(yīng)的相位和外部激勵(lì)力的相位相差-π/2時(shí),系統(tǒng)位移響應(yīng)最大[22]。因此可由(12)式得到系統(tǒng)的最大響應(yīng)位移為

(19)

式中,Ωmax表示當(dāng)位移響應(yīng)最大時(shí)所對(duì)應(yīng)的頻率比。可以得到其對(duì)應(yīng)的外界激勵(lì)力的幅值fe為

fe=2(gsin(Ωmaxτ)+2ξ)·

(20)

此時(shí)隔振器的最大位移響應(yīng)為

(21)

將(21)式代入(18)式中就可以得得到當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生最大位移響應(yīng)時(shí)的頻率為Ωmax時(shí)的傳遞率峰值。

(22)

考慮到準(zhǔn)零剛度隔振器的特性,故其傳遞率峰值所對(duì)應(yīng)的頻率比不能大于1,因?yàn)槿舸笥?時(shí),則隔振性能不如等價(jià)的線性隔振器。所以,令Ωmax=1可得到所允許施加到隔振器上的最大外界力激勵(lì)的幅值fe|Ωmax=1為

(23)

此時(shí)隔振器的最大響應(yīng)位移為

(24)

將(24)式代入(22)中可以得到當(dāng)發(fā)生最大位移響應(yīng)時(shí)的頻率為Ωmax=1時(shí)準(zhǔn)零剛度隔振器傳遞率峰值TF|Ωmax=1為

(25)

圖3a)所示是當(dāng)時(shí)滯參數(shù)τ=π/6時(shí),準(zhǔn)零剛度隔振器在不同控制增益參數(shù)g下的力傳遞率峰值。當(dāng)g=0時(shí)表示無(wú)控制,由圖3a)可知當(dāng)控制參數(shù)選擇在合適范圍內(nèi)時(shí),有控制時(shí)系統(tǒng)的力傳遞峰值比無(wú)控制時(shí)小,且當(dāng)時(shí)滯參數(shù)一定時(shí),隨著控制增益的增加,系統(tǒng)的力傳遞率峰值相應(yīng)減小。且力傳遞率峰值的大小隨著共振頻率的增加而增大。由圖3a)可知時(shí)滯控制可以有效地抑制準(zhǔn)零剛度隔振器的力傳遞率峰值,因而可以大幅地提高隔振器的隔振性能。圖3b)所示是當(dāng)控制增益參數(shù)g=0.4時(shí),準(zhǔn)零剛度隔振器在不同時(shí)滯參數(shù)τ下的力傳遞率峰值。圖3b)中曲線的變化規(guī)律與圖3a)中的變化規(guī)律類似,當(dāng)控制增益一定且時(shí)滯參數(shù)在一定范圍內(nèi)時(shí),隔振器的力傳遞率峰值隨著時(shí)滯參數(shù)的增加而增加。說(shuō)明時(shí)滯控制可以有效地抑制系統(tǒng)的力傳遞率峰值,大幅地提高系統(tǒng)的隔振性能。

圖時(shí)準(zhǔn)零剛度隔振器力傳遞率峰值曲線

圖4為受控準(zhǔn)零剛度隔振器在不同簡(jiǎn)諧力激勵(lì)下的傳遞率曲線。不同激勵(lì)力的傳遞率峰值均在傳遞率峰值曲線上。值得注意的是,當(dāng)力激勵(lì)幅值大約為不受控系統(tǒng)的臨界載荷的6倍時(shí),最大傳遞率發(fā)生在頻率比為1處。意味受控系統(tǒng)相比不受控系統(tǒng)能夠承受更大的激勵(lì)力,因此能夠適應(yīng)更加極端的工作環(huán)境。

圖4 不同簡(jiǎn)諧力激勵(lì)下的受控準(zhǔn)零剛度隔振器的力傳遞率

3 算例分析

根據(jù)文獻(xiàn)[30]中實(shí)測(cè)得到的某飛輪引起的徑向擾振力為本文中的準(zhǔn)零剛度隔振器所受到的外界激勵(lì),其具體表達(dá)式為

(26)

其無(wú)量綱化的表達(dá)形式為

(27)

隔振器和飛輪的參數(shù)取值如表1所示。將各參數(shù)以及(27)式帶入(8)式并聯(lián)立(15)式可得到傳遞到基礎(chǔ)上的無(wú)量綱力。圖5為含有時(shí)滯控制的準(zhǔn)零剛度隔振器對(duì)該飛輪擾振力的隔振效果。從圖中可以得知,傳遞到基礎(chǔ)上的力的幅值約為飛輪擾振力的10-4倍。從曲線結(jié)果可以看出由于準(zhǔn)零剛度隔振器的固有頻率較低,對(duì)具有較高頻的飛輪擾振力具有良好的隔振效果。

表1 計(jì)算參數(shù)取值

圖5 含有時(shí)滯控制的準(zhǔn)零剛度隔振器對(duì)飛輪擾振力隔振效果

4 結(jié) 論

本文研究了帶有線性位移時(shí)滯控制的三彈簧準(zhǔn)零剛度隔振器在簡(jiǎn)諧力激勵(lì)下的隔振性能。結(jié)果表明,相比線性隔振器,準(zhǔn)零剛度隔振器的隔振頻率帶更寬;而增加時(shí)滯控制可以進(jìn)一步地拓寬隔振帶寬,改善低頻帶系統(tǒng)的隔振性能;且在高頻段受控系統(tǒng)的力傳遞率要比不受控系統(tǒng)的力傳遞率小,表明增加時(shí)滯控制不僅可以改善低頻段隔振性能,而且系統(tǒng)的高頻段隔振性能也會(huì)得到改善。最后給出了力傳遞率峰值的理論結(jié)果,不僅表明有時(shí)滯控制的系統(tǒng)的力傳遞率峰值得到了有效地抑制,而且增加時(shí)滯控制可以使隔振器適應(yīng)更加極端的工作環(huán)境。