例談波利亞解題思想中的審題觀

高建 李慶亮

[摘? 要] 對問題的表征是解決問題的開始，所以學生不夠重視的審題環節恰恰是解題的重要一環，本文以波利亞解題思想為指導，介紹了解題的階段、并以具體題目為例，對解題教學中審題環節的問題設置、方法指導等方面進行了探討.

[關鍵詞] 波利亞;審題;解題

依據《義務教育數學課程標準》的要求，學生要初步學會從數學的角度發現問題和提出問題，發現分析問題和解決問題的一些基本方法. 這既是義務教育階段的要求，也是高中階段發展學生“四能”的基礎，而這些能力的提升都離不開解題教學. 但現在學校中的解題教學往往過于注重題目本身而忽視了能力的培養與發展，抑或有一些教師的解題教學不得方法，讓學生的解題變為一種機械學習. 數學教育家波利亞指出“中學數學教學的首要任務就是要加強解題的訓練”. 但這種“解題”不同于“題海戰術”，他認為解題應該作為培養學生的數學才能和教會他們思考的一種手段和途徑. 他在《怎樣解題》中提供給人們一整套解題的思路與方法，不僅適用于數學問題，還對生活實際問題的解決提出了一定策略，對于中學階段的數學解題教學具有指導意義.

波利亞的解題四階段

波利亞在《怎樣解題》中將解題分為了以下4個階段：（1）理解題目，即明確題目中的未知量、已知數據、條件;（2）擬訂方案，即找出題目中已知數據、條件以及未知量之間的聯系，手中題目與相關概念之間的聯系，該題目與之前做過的題目間的聯系，并擬定一個求解計劃;（3）執行方案，即實施之前擬定的計劃，細化到每一個步驟，確保其過程嚴謹;（4）回顧，即對所求的解或證明的過程進行檢驗，對解題的思路與方法進行總結. 審題是解題的第一環節，若不能對題目形成正確的表征，解題也就無從談起. 而在教學實踐中可以發現，學生審題環節也存在著一些問題，所以本文將對審題環節進一步深入探討.

理解題目

學生解題能力不足，除了知識點的整體把握不夠之外，也與他們思考問題的方式有關，他們不知道怎樣審題、怎樣思考，而課堂教學或考試中往往有時間限制，這也就導致了一些學生還沒有看清題目、理清條件就急于解題，若長此以往，這些學生或是長期做錯而喪失對數學的興趣，或是將錯題歸咎于馬虎，或是偷證漏證而不自知，不論哪種結果都不利于學生的發展. 所以，教師在教學每一道題的解題過程時，更重要的是教學生解題的普遍思路與方法，教學生如何克服障礙，讓學生看到教師解題時每一個想法的來源，這些就要從審題教學開始.

因“審題”而造成的問題是最可惜的，卻也是最常見的. 中學生處于青少年時期本就不夠沉穩，容易受心情、喜好等因素影響，遇到自己不感興趣的題目就不愿意多做思考. 所以教師更應在題目的選擇上下足功夫，既要選出有代表性的題目，也要保證題目的難度符合學生的最近發展區，還要考慮到習題與學生生活之間的聯系，不能給學生一種“數學題與生活無關，不會做數學題只影響分數，不影響生活”的印象，同時在題量的控制上不能陷入“題海戰術”. 為了達到以上要求，需要教師進入題海之中，對題目進行篩選，同時也需要教師之間互相交流，針對不同的學情篩選出不同層次、不同側重點、不同表述的題目.

解題案例

案例中（如表1）的兩道題目在圖形上看十分相似，且都是八年級下“平行四邊形”一章的題目，但考點截然不同. 第1題中有明確給出“中點”字樣的提示，結合當時剛學過的中位線的概念及性質，很容易聯想到連接EF，雖然這樣的思路無法解決這一題目，但由三角形兩邊中點，想到構造中位線確實是一種正常的思路. 而第2題中，E，F可能在AB，BC上的任意位置，只要滿足EF與AC的平行關系即可，如果出題人將E，F的位置分別標在AB，BC的中點附近，學生便很容易將其與第一題混淆. 這種混淆究其根本在于學生并沒有抓住圖形的本質屬性（即第2題中的幾對平行關系），學生誤將題目中的非本質屬性（E，F的位置）當作圖形的本質屬性，從而陷入誤區. 此時，由于一部分學生是審題導致的解題失敗，教師若直接將兩道題目的解法寫在黑板上講給學生，將不會有太大的效果. 這就要求教師從審題開始講起，通過一系列的問題設置，教學生如何把握題目中數學對象的本質屬性，剔除非本質屬性的影響，從審題中獲得思路.

問題設置

上述案例中，兩題的考點截然不同，第一題更傾向平行四邊形判定定理及中位線定義與性質的考核，第二題卻考核了平行四邊形的性質定理以及“平行線間距離處處相等”在有關面積問題中的應用. 教師在對圖形或條件相近的習題講解時更應按部就班，引導學生摒除前后習題之間的影響，從審題開始，先不斷追問學生：未知量是什么？已知數據是什么？條件是什么？條件是否充分？如果不充分可以做怎樣的補充？條件是否有剩余？不用多余的條件如何證明？在教師的不斷追問下（如表2），學生潛移默化地就會養成做題之前先問自己這些問題的習慣.

在這樣的引導之下，學生就可以清晰地看到兩個題目的異同，從而對兩個題目形成正確的表征，明確題目想要重點考查的知識點，也可以獲得解題的思路，進而為擬定相應的解題方案做好了準備. 審題環節上的方法指導要圍繞以下幾點進行：①理解條件含義，并進行數學表征;②理解結論含義，并進行數學表征;③理清條件與結論之間的聯系，這是審題環節進行設問的最終目的. 所以培養學生的審題能力，除講解題目時的“設問”外，還應在課堂教學中對概念、原理進行多元表征（如：操作、日常語言、符號語言、圖形等），以便學生又快又準地理解題目.

其他常用問題

教師對學生理解題意的引導應以問題作為提示，但絕不僅限于上述問題，還可以用如下問題對學生進行引導：對于這道題，我們所要求的是什么？該怎么用數學符號表示呢？現在我們知道了什么？該怎么用數學語言表示已知條件呢？對于目標問題，已知條件夠用嗎？如果不夠，又該怎么辦呢？如果已知條件多余呢？給出的條件相互矛盾嗎？能不能把題目中的元素在圖形上直觀地表示出來呢……具體的問題設置還應分析具體學情，學生審題的難點可能在于符號語言、文字語言、圖形語言的轉化，或在于對問題情境的數學抽象與表征等很多方面，這就要求教師把握學情，在學生平時做題的步驟書寫、圖形標注等體現審題過程的細微之處加以觀察，并根據其中的不足之處，在教學時合理設置問題.

現在仍有很多學生能聽懂知識點，但在解題時卻困難重重，其中很大一部分原因來自審題環節. 解題活動要培養的是學生的一種解決問題的思維方式，這種思維方式又無法直接告訴學生，教師要在平時的解題教學中，讓學生“看到”自己的解題過程. 而審題又是解題活動的開端，是“四能”中“發現問題”的關鍵階段，更應引起重視. 讓學生知道教師是如何審題的，理解了題目也就為順利解題做好了充分的準備，增加了學生自己完成解題的可能性，從而讓學生體驗到解題成功時的成就感，在解題的成就感中找到對數學的熱愛.