結合學科素養談高中數學一類組合問題的教學

王會書

《普通高中數學課程標準》明確提出了6大核心素養，即數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析，教材選修2-3組合及組合數公式應用一節，首先培養的就是學生分類討論的能力，對學生數學建模與數學抽象能力有著較高的要求。在解決這一問題時，第一個難點就是對題目是排列問題還是組合問題的判斷，第二個難點就是在計算過程中對有序無序的控制。學生往往對計算過程中是否有順序判斷錯誤。特別是組合數學中還有一部分等分的問題，更要求學生精準把握概念。這部分內容在排列組合部分的教學中占有十分重要的地位，而且對這部分內容的理解也直接決定了學生對下一部分內容——古典概型部分內容的接受程度，本節內容既是重點也是難點和考點，黑龍江省2019年高考數學一道12分大題就考查了概率的內容。在設計本節教學內容時我主要從以下三個方面入手：

1.加強分類計數加法原理的教學

分類計數加法原理：完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，……，在第n類方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1+m2+...+mn種不同方法。每一種方法都能夠直接達成目標。

分類計數加法原理中，“完成一件事，有n類方案”是說每種方案“互斥”，即每種方案都可以獨立完成這件事，同時相互之間沒有重復也沒有遺漏。進行分類時，要求各類方案彼此間是相互排斥的，不論哪一類方案中的哪一種方法，都能獨立完成這件事。

加法原理在高中數學的各部分內容學習中都有涉及，無論是函數還是方程，以及解不等式的分類討論的問題，依據的都是不重不漏的原則，落實的概念都屬于這部分內容。

2.加強分步計數乘法原理的教學

分步計數乘法原理：完成一件事，需要n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1×m2×...×mn種不同的方法。乘法原理中的每一步都不能獨立的完成這件事。

乘法原理是加法原理的簡便計算，本質上與加法原理是一致的，與加法原理合起來是對具體事物計數問題在數學上的高度抽象。大部分的計數問題都是兩個原理的綜合應用。

3.排列與組合的應用

一般的，從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素，按照一定順序排成一列，稱為從n個不同元素中取出m個元素的一個排列。而從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素分成一組，稱為從n個不同元素中取出m個元素的一個組合。

我們注意到，生活中都是先組后排，而數學上確是先講排列數公式，再講組合數公式，而且組合式公式本身就是乘法原理的應用實例。

組合數與排列數的關系為：A? nm =C? nm Amm。

由此可以得出A? nm =C? nm·Amm，公式中乘以Amm，乘的是順序，所以組合就變成了排列。而公式C? nm =中除以Amm，除的也是順序，排列也變成了組合。

例1：現有6名同學和3名老師排成一排照相，要求3名教師從左到右的順序不變，問共有多少種不同的站隊方法？

我們可以直接A 69得到，也可以A99 ÷A33得到，其中除以A33，去掉的就是順序，要用除法而不是減法。

例2：用1，2，3，4，5，6可以組成多少個各位沒有重復數字的3位數？

我們知道，這是典型的排列問題，選取的三個不同元素是有順序的A33：

計算時：A36=6×5×4=A16×A15×A14 =C16×C15×C14，都是正確的，說明順序是在乘法原理過程中產生的，跟分步有關，而與每步是排列或組合無關。

例3：班級有30名女生，20名男生，現從中選2名男同學做數學科代表，2名女同學做英語科代表，共有多少種不同的方法？

答案是C220 C230，其中C220一定做數學課代表，C230一定做英語課代表，互相之間不能交換，沒有順序。

例4：班級有30名女生，20名男生，現從中選2名同學做數學課代表，2名同學做物理課代表，共有多少種不同的方法？

首先，選取的對象應該是全體同學，即C250 C248，而在C250 C248上是否乘以A22 才是解決問題的關鍵。C250這一步假設選取了甲、乙兩名同學，第二步C248選取了丙、丁兩名同學;當然，C250 這一步也包含選取了丙、丁兩名同學，第二步C248恰好也選取了甲、乙兩名同學這種情況，說明乘法原理的使用過程中已經在兩步之間產生了順序，是排列問題，不需再乘以A33，所以C250 C248就是正確的。

例5：班級有30名女生，20名男生，現從中選3名同學做數學科代表，2名同學做物理科代表，共有多少種不同的方法？

這個問題選取的前提也是共有的，選3名同學做數學課代表和選2名同學做物理課代表這兩件事之間是不能交換的，是沒有順序的，而C350 C348中的3人只能做數學課代表，2人只能做物理課代表，也沒有順序，所以正確的答案就是C350 C247，而C350 C348也是正確的。

例6：現有4封信，投入3個信箱，要求每個信箱都不空，共有多少種不同的投法？

常見的錯誤做法是A34 C13。這樣雖然保證了每個信箱不空，但是一定有一個信箱里面放兩封信，而這兩封信一個在A34中，一個在C13中，由于是在同一組中先后選取的數目相同（1個）的元素做乘法，故此有順序，故正確的結果是A34 C13 ÷A32 。

當然，我們還可以先把4封信看成3封信，然后就是全排列了C24 A23。

4.乘法計數的過程中產生順序的條件

在同一組元素中先后選出數目相同的元素做乘法，有順序，步與步之間是排列問題。

例7：現有6本不同的書，平均分給3名同學，共有多少種不同分法？

C26C24C22 ，符合上面的三個要素，有順序，已經是排列問題了。

例8： 現有6本書，平均分成3組，共有多少種不同分法？

由上題知，C26C24C22 各組之間是排列問題，已經分給了不同的人了，那么去掉順序的方法就是除法：C26C24C22 ÷A33。

例9：現有5封信，投入3個信筒，每個都不空，共有多少種不同投法？

共分兩類：第一類3，1，1情況，結果較清晰C35 A33，就是把5封信看作3封信;第二類2，2，1情況中，先把5封信看成3封信，C25C23C11還是C15C24C22在本質上都是一樣的，但都出現了部分重復，所以結果應是C25C23C11 ÷A22×A33才是正確的。

從學生的作業與考試反饋來看，這部分內容學生理解比較困難，加強這部分內容的教學，對提高學生的數據分析、數學抽象、數學建模、數學運算、邏輯推理和直觀想象的能力都有幫助，無論對老師還是學生，理解好基本概念都是最重要的，這就是數學核心素養的一個具體的體現。

編輯/李莉E-mail：1183916794@qq.com