讓概念教學潤澤兒童的心靈
——吳正憲老師《倍數和因數》教學賞析

楊紅干

每一個概念的產生都有豐富的知識背景和學生的經驗背景；任何一個概念的獲得都是在遇到問題、解決問題的過程中逐步歸納、總結而得的。如果舍棄這些背景，直接拋給學生一連串的概念常常使學生感到茫然，丟掉了培養學生概括能力和創新能力的機會。于教師而言，對教學價值的單向追求，有可能缺失的是知識對學生的“育人價值”；于學生而言，從學科價值的層面認識到一個概念的重要性是需要過程的。蘇霍姆林斯基說：“沒有對兒童的了解，就沒有學校，就沒有教育……”。兒童是活生生的人，兒童是發展中的人，這正是吳正憲老師的兒童觀。她強調兒童的主體地位，發揮兒童的積極性、主動性，讓兒童有尊嚴的生活，這是吳老師兒童數學教學教育思想的一大亮點。認識兒童、了解兒童，這是兒童教育的起點。吳老師追求的是讓課堂教學充滿生命的活力。走進吳老師《倍數與因數》的數學課堂，能看到她努力走進學生的經驗世界，用心去感悟學生的每一絲發現，尊重概念產生的知識背景和學生的經驗背景，給予學生概括能力和創新能力的機會，豐富知識對學生的“育人價值”。把握每一個有意義的教育契機，引導學生在“好吃”中享受“有營養”的數學學習。

一、在概念溝通中，聯結新舊知識

1.與生活經驗溝通，突出概念由來。

師：今天我們聊一個話題：因數和倍數。過去的學習中在哪里見過因數和倍數？

生：1、2、3、4……

師：這些都是數字，過去學習中見過沒有？舉個例子。

生：2×2=4，4是2的 2倍。

師：2倍是什么？換個式子6是2的3倍，這個式子會寫嗎？

生：6÷2=3。

師：6是2的3倍，那倍數是誰呢？

生：3是倍數。

師：沒聽過因數嗎？在哪里找？舉個例子。

生：4×5=20。（請一個學生在黑板上寫算式）

師：那誰是因數？

生：4和5是因數。

師：7×8 呢？

師：假如 0.4×2=0.8，哪一個是因數？

生：0.4和2是因數。

【賞析：杜威強調，教育必須建立在經驗的基礎上，教育就是經驗的生長和經驗的改造。《數學課程標準（2011年版）》指出：“教師應該以學生的認知發展水平和已有的經驗為基礎，面向全體學生，注重啟發式教學和因材施教。”學生有經驗，自然就有教育的可能和空間。吳老師充分尊重學生已有的“倍數和因數”的經驗——“倍數”的經驗就是在除法里誰是誰的幾倍；“因數”的經驗就是存在于乘法里的乘數即因數。經驗是學生數學學習的重要資源，學生的學習過程就是建立在經驗基礎上的一個主動建構的過程，吳老師正是把學生的經驗不斷地激活、利用、調整、提升。這樣的概念教學就有了滲透數學思想“建模”的意義，無形中打開了教學空間。】

2.與認知經驗溝通，突出概念的關聯性。

師：我明白了，你們在除法里找倍數；在乘法里找因數，但我遺憾地告訴你們 6÷2=3，4×5=20 里面既有因數又有倍數，卻不是你們說的倍數和因數；我還告訴你們0.4×2=0.8，這不是我們今天研究的因數和倍數。是不是腦子里有點糊涂？那今天研究的因數和倍數到底又是什么呢？讓我們一起來研究它。

【賞析：聽完吳老師的這段話，學生蒙了。這下學生的原概念與新概念有了沖突（即老革命遇到了新問題），我想學生的學習真正發生一定有前提：學生已有的原概念，先前的經驗和今天的新概念產生矛盾。這樣激發了學生學習的內需，學生的學習動力被完全激發，學習真正開始了。】

二、在概念概括中，理解知識本質

1.與乘除法聯系，呈現概念的由來。

師：誰愿意到黑板上寫算式？如果12個人分成小組，每組人數一樣多，怎么分？（教師拿出12支粉筆請學生演示。一位學生演示，一位學生記錄）

生：平均分成6組，每組2人。（學生記錄 2×6=12）

師：還可以怎么記錄？

生：12÷6=2、12÷2=6。

生：還可以分成3組。3×4=12、12÷3=4、12÷4=3，也可以分成12組。（學生寫出算式）

師：12人，如果每組5人，可以嗎？

生：2組。

師：干凈了嗎？

生：還余2人。

師：那這個式子如何表達呢？

生：12÷5=2……2。

【賞析：由于概念教學在整個數學教學中起著舉足輕重的作用，所以吳老師采取了直觀演示——平均分組的活動，引領學生建立概念的表象。又因因數和倍數是一對較為抽象的數學概念，因此吳老師讓學生經歷“分粉筆”這一數學活動時，以乘積等于12這一乘法算式為例，借助形象化手段，揭示因數和倍數的特點。同時還重視在數學概念教學中培養學生的創造性思維——因數和倍數既存在于乘法算式中又存在于除法算式中。倍數和因數的概念是學生初次接觸且較難理解的，所以在教學時吳老師引領學生列舉大量具體的例子，從學生實際經驗的肯定例證中，即通過平分人數的情境中抽象出乘法算式和除法算式，為后續的學習歸納出這一類事物的特征埋下伏筆。】

2.與整數和整倍數聯系，突出概念特征。

師：寫好的算式我們得對它們有所思考，這么多的式子，我們能把它們分分類嗎？怎么分呢？你打算怎么分類？沒有對錯，只要有標準，都可以分類。

生：我分兩類，有余數的和沒有余數的。

師：還可以怎么分？

生：乘法一類，除法一類。

師：能用數學的算式來表達你們分類的過程，你們一下子寫出了一道乘法算式和兩道除法算式，可是今天我們學習的是因數和倍數。因數和倍數都在這里，以2×6=12為例，2和 6是12的因數，12是2和6的倍數。（教師用手比劃乘法和除法算式中數的關系）你能學著老師的樣子來說說第二組算式嗎？（學生試著說倍數和因數）

師：因數和倍數既在乘法里又在除法里，到底什么是因數？什么是倍數？你能試著總結一下嗎？一句話或兩句話把你心中的倍數和因數表達出來。我知道這很難，但四人小組討論后一定有發現。（學生討論，教師巡視收集發現，投影分層展示學生的想法）

【賞析：概念教學主要是要完成概念的形成和概念的同化這兩個環節。由于概念本身具有的嚴密性、抽象性和規定性，傳統教學中往往比較重視培養思維的邏輯性和精確性，在方式上以“告知”為主讓學生“占有”新概念，學生的主體地位得不到發揮，學生的思維會產生依賴性。大多數版本的教材中明明白白地給出“整數A除以整數B，如果除得的商是整數而沒有余數，我們就說數A能被數B整除，數A是數B的倍數，數B是數A的因數。”這不利于創新型人才的培養。令我驚奇的是——這節課自始至終，吳老師沒有給出“因數”和“倍數”的定義，而是不斷地激活學生的經驗、調整經驗。“學習最好的途徑是自己去發現。”學生就在吳老師創設的情境中像數學家那樣去“想數學”，“經歷”一次發現、創新的過程，通過教師的一句話學會推理、遷移、發現。】

3.與學生概括展示相聯系，把握概念本質。

生：一個數×一個數=另一個數，一個數、一個數是另一個數的因數，另一個數是一個數、一個數的倍數。

師：你們同意嗎？為什么不同意？舉個例子就可以了。

生：小數也是數，如0.4×2=0.8，0.4、2不是0.8的因數，另一個數不是它的倍數。

師：你明白了嗎？那一個數又有什么要求？

生：倍數和因數都是整數，不能有余數。

師：是呀，你們越總結越像因數和倍數了。那我舉個例子7+5=12里面有因數和倍數嗎？

生：7+5=12里沒有因數和倍數，因為因數和倍數要在乘法和除法里。

（教師板書：1.兩個數都是整數；2.整倍數）

生：倍數是兩個因數的積，同樣在除法中倍數又是除數和商的積。

師：你們的總結越來越接近倍數和因數。

生：在乘法算式中，兩個乘數是因數，積是倍數；在除法算式里，被除數是倍數，除數和商是因數。

師：咱們數學人講究簡潔，我們最終得出：首先這兩數得是——整數，它們還不能有——余數，即必須是整倍數的關系，得符合這兩個條件。1.5÷0.5=3中有倍數關系嗎？為什么？0.4×2=0.8呢？12÷5=2……2呢？（學生一一回答并說出原因）

師：過去我們學習的因數和倍數只是它的名稱而已，此因數非彼因數。（繼續與學生鞏固因數和倍數的兩個條件）因數既可以在乘法里又可以在除法里，而且這兩個整數必須是整倍數關系。現在腦子里的因數和倍數清晰了嗎？（教師找一名學生說說什么是因數，什么是倍數）

【賞析：在學生初步歸納出一個數的因數和倍數的特征后，教師適時地追問，使得學生的發現由不完全歸納上升到初步的理性思考層面。在這樣的學習過程中，學生獲得的不僅是知識與技能，還有思考方法和思維方式的提升。同時為幫助學生深刻理解基本數學概念，吳老師教學時充分讓學生演示、觀察、補充、質疑、概括，把倍數與因數概念的本質屬性和普遍意義形象地展現出來，使學生在頭腦中建立起這些內容的豐富表象；再組織學生分析、討論、辨析加深這些概念的感性認識；最后對表象進一步加工形成概念，從而實現學生對概念的深刻理解。學生在與已有的概念加以區別和聯系時，不斷地形成對倍數和因數的一種陳述性的定義，這就是形成一種概念的過程。在這一過程中吳老師還做到與學生認知結構中原有概念相互聯系、作用，從而領會新概念的本質屬性，獲得新概念。】

三、在概念鞏固中，優化認知結構

師：你看錯著錯著就對了；聊著聊著就會了。你能舉幾個例子說一說誰是誰的因數？誰是誰的倍數嗎？

生：15是倍數，3和5是因數。

生：不同意。15是3和5的倍數，3和5是15的因數。

師：（教師例舉生活中哥哥和弟弟的關系，突出相互依存的關系，因數和倍數總是一對一對出現的）誰能舉個除法的例子并說出因數和倍數？

生：10÷2=5。

生：10是2和5的倍數，2和5是10的因數。

師：說得真好，一對一對的說，誰來說說別人沒說過的話？（繼續引導學生通過舉例子鞏固因數和倍數的兩個條件）

師：我們今天給因數和倍數以新的約定、新的規定，在一堆一堆的式子里，你們把長得一樣的、有共性的抽出來，但說法得簡潔呀，于是我們總結出了兩句話：因數和倍數得是整數，并且是整倍數關系，得一對一對的出現，誰也離不開誰。

【賞析：學生學習概念的過程是一個主動建構與生成的過程，結果式的教學同樣讓學生“學會”一個概念，并在這個概念的基礎上進一步的“數學化”，然而學生缺失的是對一個概念豐富的、個性化的、帶有情緒色彩體驗的理解。在吳老師的課堂上，因為尊重了學生的活動經驗和已有的認知結構，學生學習的才是“熟悉的數學”“有意思的數學”，從而涌動出學生的奇思妙想，呈現課堂的生態，在一次一次的等待中完成倍數和因數概念的理解和完整。】

在倍數和因數這節起始課上，吳老師沒有過早或過快地直奔主題，為重要的概念早點聚焦，而是強化教學的“有用”和“有趣”。她深知我們的教育對象是兒童，是經過小學六年就要走完人類數千年數學發展歷程的兒童，所以教學得基于學生的認知特點、已有的學習經驗、對數學學科價值的反思、對教育目的的追問，才能培養學生抽象、推理、概括的能力，成為學有過程的數學，才能處理好兒童、教育、學科三者之間的關系。因材施教，尊重兒童，讓數學概念課既有溫度又有深度，既“好吃”又有“營養”，從而豐富兒童的生命，潤澤兒童的心靈！

【思考】

《數學課程標準（2011年版）》提出：數學教學活動必須建立在學生的認知發展水平和已有的知識經驗基礎之上。教師應激發學生的學習積極性，向學生提供充分從事教學活動的機會，幫助他們在自主探究和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思維和方法，同時獲得廣泛的數學活動的經驗。如何設計一種情境，更貼近于學生的生活與已有的知識呢？在教學中，吳老師為了建立因數和倍數的概念，從兒童現有的生活經驗出發——在乘法中找倍數，在除法里找因數。當老革命遇到新問題時，學生自然產生認知沖突，從而涌現出探究新知的內需。在學生一次次稚嫩淺顯的概括中、一次次補充和質疑中直逼概念本質。并通過舉例、歸納、對比、分類等活動，讓學生掌握倍數和因數的特征，尊重概念產生的過程，體會數學的學習價值。《倍數和因數》再次詮釋了吳老師的兒童觀和兒童數學教育觀——尊重每一位兒童，她和孩子們的思維共振、情感共鳴的場景歷歷在目，一次一次很享受地品味著“好吃”又有“營養”的數學大餐。