基于核心素養的高等數學教學改革探究*

黃永輝 叢二勇 任向民 （哈爾濱學院信息工程學院）

核心素養，源自OECD 核心素養框架，歐盟核心素養框架，美國核心素養框架和世界共同核心素養框架，核心素養是當前國際教育研究的一個新熱點，也是中國新一輪課堂改革、教學方式改革的主要方向。中學數學教學中關于核心素養培養已取得了一系列的理論研究成果與實踐驗證，但關于如何培養大學生核心素養的研究卻很少。高等數學是高等院校理工科類以及財經管理類等專業的一門重要的公共基礎課，課程本身具有高度的抽象性和嚴密的邏輯性，對于大多數學生而言學習難度較大。本文將圍繞高等數學教學中應如何培養學生的核心素養展開探討。

一 數學核心素養的界定

核心素養，是指學生應具備的適應終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力。所謂數學素養是指數學基礎知識、基本技能（空間想象、抽象概括、推理論證、運算求解、數據處理等方面的能力）、基本思想方法以及數學應用意識和創新意識[2]。數學核心素養是學習者在學習數學過程中所達成的綜合性能力。它并不是具體的知識與技能，而是以數學知識與技能為基礎又高于它們。數學核心素養使學生滿足社會需求和自身發展，是知識、技能、情感多個層面的素養。

二 基于核心素養的高等數學教學改革

在核心素養理論的指導下，高等數學教學將面臨教學觀念的轉變，教學目標的修訂，教學模式和教學評價的改進等方面的變革，以更好地提升應用型人才培養質量。

1 教學觀念

核心素養下教師應改變傳統的數學教育觀念，根據社會需求，培養適應新時代發展的人才。傳統的高等數學教學，在應試教育下教師更注重知識的過度講授，講解各種題型，歸納各種解題方法，學生在滿堂灌的課堂中成為聽眾，解題的工具，阻礙了學生想象力的發揮和創造力的發展。在當今信息化社會背景下，社會需要的是富有創造力，競爭力，可持續發展的人才。因此，教師在傳授知識的同時，更應挖掘隱藏在書本知識背后的數學文化、數學思想與數學方法，注重學生能力的培養，以適應未來的社會需求。只有教師從教學觀念上根本轉變，才能不抵觸新的教學方法和教學模式，投身于高等數學教學改革中。

2 教學目標

教師要明確高等數學的教育目標。將知識的傳授、能力的達成、學生素質的培養融為一體,重視學生終身學習能力和創新方面能力的培養，重視培養學生自學能力，樹立使學生素養全面提高的思想。

（1）知識目標

高等數學是以極限為主要工具研究函數的性質，其內容和思想方法是人類生活中的重要理論依據，高等數學教學應在使學生掌握高等數學課程中的基礎理論、基礎知識和基本技能基礎上，還應幫助學生學會數學思維。幫助學生通過數學學會思維也是數學素養的真正核心所在。高等數學在挖掘和展現數學知識中的數學思想方法及數學應用上起著重要的作用[3]。只有用思維方法的分析帶動具體知識內容的教學，才能幫助學生真正學好相關的數學知識，即是將數學課“教活“”教懂”“教深”[4]。高等數學中常用的思維大致有歸納思維、類比思維、發散思維、逆向思維和猜想思維，在教學中要注意滲透各種數學思維，培養學生的創新意識。使學生掌握知識內容并不是高等數學教學的最終目的，數學教學的目的之一是使學生具備一定的數學思維能力。歸納是通過觀察、實驗、分析的基礎上,發現規律,總結出原理或定理的推理方法。在高等數學教學中，應培養學生掌握歸納的方法，善于歸納總結是學好數學的關鍵。眾所周知，數學解題方法靈活多變，難于掌握，如何做到解一題而會一片，善于對一類題目方法的歸納能達到此連鎖反應效果。類比思想，指借助于兩類不同本質事物之間的相似性, 通過比較將一種已經熟悉或掌握的特殊對象的知識推移到另一種新的特殊對象上去的推理手段[6]。在高等數學教學過程中如果合理運用類比思維進行新知識的講解,將收到事半功倍的教學效果，將已知與未知、熟悉對象與陌生對象、形象問題與抽象問題進行類比，讓學生積極探索，充分發揮學生的主觀能動性，達到新知的獲得。如，講授二元函數的極限時類比一元函數的極限；講授多元函數微分時類比一元函數微分，并通過比較概念、性質、定理的異同使學生更好地掌握新知。數學中有些問題用正向思維去解難度較大，難于突破，此時不妨考慮反方向，利用逆向思維。逆向思維在高等數學教學應用也較普遍，如欲說明連續函數不一定可導，有界函數不一定有極限，不連續函數可能有原函數等，都可以采用反例教學法。而證明恒成立問題，唯一性問題，存在性問題常常可以考慮使用反證法。發散思維是指在創造和解決問題的思考過程中,不拘泥于一點或一條線索,而是從己有的信息出發,選擇多角度,向多方向擴展,不受已知的或現存的方式、方法、規劃或范疇的約束[6]。培養學生的發散思維有助于提高學生的創新能力。在高等數學教學中，可以通過一題多解，開放性問題，變式教學等實現發散思維的形成。如，高等數學中不等式的證明方法多樣，可以通過典型的不等式例題，用函數單調性、微分中值定理、函數的最值、凸函數性質等多個知識點實現一題多解，鍛煉學生的發散思維，激發學生學習積極性。數學猜想是指根據某些已知的事實、材料和數學知識,對未知的量及其關系所做的一種預測性的推斷。數學猜想是數學發現的重要手段，在高等數學教學中，教師要鼓勵學生進行大膽猜想，進行猜想訓練,對于培養創造性思維有著極其重大的作用。如，學習了一元函數極限，二元函數極限后，猜想n元函數極限相關概念與性質，它們在概念、性質、定理中有哪些結論相同，哪些結論不同，培養學生的分析和推理能力。

（2）能力目標

數學是思維的體操,而問題是數學的心臟。在高等數學教學中，圍繞問題開展教學，培養學生的問題意識，讓學生善于思考，學會思考。學生是通過數學問題的提出和解決來認識數學理論的發現、形成、應用和發展，學會數學地思維、數學地交流、數學地推理和數學地解決問題，從而形成對知識深刻、結構化理解的過程[5]。定理的講授不應僅靠寫出定理內容，推導證明過程這一單一模式，而是通過問題不斷分析發現定理，從而培養學生的創新精神。比如，微分中值中的洛爾定理，通過幾何直觀圖形，發現極值點的存在，由極值點的特征，從而得出定理結論。由學生親歷發現定理過程，使學生對知識理解更深刻，培養數學思維。再如，定積分是高等數學中一個重要的概念，它在實際生活中有著廣泛的應用，教師在講解概念時應從實例出發，通過曲邊梯形的面積和變速直線運動物體的路程，使學生理解概念的本質思想：分割、近似代替、求和、取極限，減少概念的抽象性，使學生掌握利用定積分的基本思想解決其他的變量問題。

理論知識最終將付諸實踐，加強學生數學應用意識，提高實踐能力。實踐證明,利用學生熟悉的問題進行教學,可使教學內容易于理解，使學生對數學產生興趣,激發他們用所學的知識,主動地去探索研究實際問題。如，利用定積分思想求平面圖形的面積，求旋轉體的體積，處理變力做功問題等，結合人口增長模型講授微分方程，結合商品存貯費用優化問題、最大收益原理講授最值問題。在高等數學教學中創設數學建模情境，讓學生感受到數學與實際生活的聯系，感受到數學的無處不在，體會學習高等數學的重要性。將數學建模思想融入高等數學教學中，培養學生的解決實際問題能力和數學應用能力。數學建模的問題，大多來源于生活，關注社會焦點，往往沒有固定的方法，這些特點讓學生將所學到的知識運用到解決實際問題有了用武之地，是培養學生應用能力的最佳“土壤”。比如，經濟類高等數學中收益最大化和利潤最大化就是用數學建模思想解決實際問題的好素材。鼓勵學生參加數學建模競賽，將其成為學生實踐應用的演練場，激發學生不斷探究的精神。

3 教學模式

就高等數學學科特性及學生的大學屬性來講，高等數學的教學應滿足“能動”“開放”“參與”三個特征。高等數學教學模式是能動的。將培養學生自主學習能力、合作參與意識、促進個性創新思維發展等教學要素融會為教學模式中的有機成分，才能將高等數學學習建立在學生能動性的層面上。高等數學教學模式是開放的，包括時空的開放和知識的開放。時空開放，即時間和空間上向課堂外延伸；知識的開放，即學生打破常規，尋求新路徑，培養學生的發散思維和創造性思維。高等數學教學模式是參與的。學生在學習過程中主動積極地參與實踐，構建高等數學較完整的知識體系，創新能力以及綜合能力得以鍛煉。

在信息化背景下，將“慕課”融于高等數學教學，拓寬高等數學教學的形式。在網絡平臺上提供教學微視頻，在線討論，在線測試等教學相關內容，使學生充分利用課余時間完成個性化學習，促進學生自主學習能力的達成、培養合作意識，提高學生數學核心素養。“慕課”既是對傳統課堂教學的一種延伸和補充，更是帶動了多種教學形式的發展和傳播。諸如“慕課”促進翻轉課堂、線上教學、討論式教學等教學形式的廣為流行。并且倡導“慕課”平臺推出多層次，適應不同專業和基礎學生學習的高等數學課程是高等數學課程結合“慕課”平臺進一步深化教學改革的大勢所趨[6]。在“慕課”背景下，將翻轉課堂與傳統教學模式的有機結合，積極轉變課堂教學模式，培養學生數學應用意識和創新意識。翻轉課堂凸顯了“以學生為中心”的教學宗旨，因為學生在課前按照教師事先布置的任務查閱了相關資料，在網絡平臺上觀看了相關教學視頻，學生可以圍繞自學時遇到的問題有針對性地提出問題，通過小組合作或教師指導解決問題，學生是課堂教學的主體，利于培養學生的創造力。當然，并不是高等數學中所有知識點都適合采用翻轉課堂的教學模式。可以選知識點相對簡單，應用性較強的進行翻轉課堂教學。比如，導數的應用中函數的單調性、定積分應用中平面圖形的面積，學生在中學階段就接觸過，完全可以采用這種新型的教學模式。激發學生學習興趣，培養學生自主學習能力。

（1）在高等數學教學首次課中，介紹微積分產生的歷史背景，使學生初步了解極限思想、定積分思想。在教學過程中，適當穿插數學家的趣聞趣事，如，英國物理學家牛頓通過研究變速直線運動物體的路程創立了牛頓-萊布尼茲公式，與此同時，德國數學家萊布尼茲通過研究曲邊梯形的面積創立了牛頓-萊布尼茲公式。通過高等數學歷史故事和介紹數學家的偉大成就激發學生的學習興趣。

（2）營造良好的課堂氣氛。融洽的師生關系，良好的課堂氣氛能激發學生的創造性思維，激發學習積極性。教師和藹親切的笑容，鼓勵的話語能拉近與學生的距離，在良好的氛圍下學生思維活躍，積極投入每一個教學環節。適當采取討論式教學法、小組合作學習可以充分調動學生學習的積極性。如，高等數學中函數極限的教學，方法靈活多樣，可以通過小組合作討論，歸納出求函數極限的若干方法以及應用。

（3）開展第二課堂活動。在掌握高等數學基礎知識基礎上，定期開展介紹一些現代數學發展的講座,拓寬學生視野，激發學生對數學的興趣與愛好。教師也可將自身的科研項目融入第二課堂中，使學有余力的學生積極投身其中，培養學生的創新能力。

（4）適當采用信息技術。現代教育技術為學習者提供了一個有利于觀察、思考、比較的信息化教學環境,有助于創造教學的軟件資源,培養創新意識。適當采用信息技術,可以提高高等數學教學質量，增加教學內容的信息量，將立體幾何直觀化，調動學生學習的積極性。比如在定積分概念教學中，將定義中的“任意分割、任意選取”制作成動畫形式，使學生對定積分的“化整為零、以常代變、聚零為整、取極限”的精髓有一個更加直觀、深刻的理解，使定積分的定義變得生動而具體。再如，三重積分的教學中涉及空間立體圖形，這對學生的空間想象能力要求極高，如果在教學中適當使用多媒體，將幾何圖形直觀化，有助于學生對教學內容的理解。搭建高等數學教學網站。提供教學視頻，學生可以通過自主學習預習課程內容,發現問題，在課堂上有針對地提出問題并解決問題。提供課程教學大綱、典型習題解答、知識難點解析,以及往年試卷等，搭建高等數學自測平臺，使學生課后及時鞏固知識和發現問題，教師也可以通過反饋結果及時調整教學計劃與制定相應對策。網絡學習將高等數學教學延伸到課堂外，充分調動學生自主學習能力。

4 教學評價

在知識學習后，診斷和檢測手段相當重要。合理的教學評價能夠提升教學質量，使高等數學教學良性發展。傳統的評價主要是知識的評價，考查學生對所學知識的理解和掌握程度，而基于核心素養的評價除了考查知識技能，還要關注思維品質，考查思維過程[3]。應倡導多元化評價方式。如，將平時作業情況和學生的課上表現計入其平時成績當中，作為學期末綜合考評的一部分。也可以進行線上測試，搭建“高等數學網上學習與檢測平臺”，學生一方面可以通過檢測平臺，及時得到測評結果，以檢查自己在學習中的問題，及時發現問題及時解決。另一方面，教師通過測評結果，及時得到反饋信息，為師生之間相互溝通提供了線上支持，教師可以第一時間了解教學中的不足，及時改進，有助于提高教學質量。多層次全方位的評價，利于考查學生的思維過程。重視評價機制多元化改革，并不意味著完全拋棄傳統的考核與評價。而是將兩者相結合，追求評價的全面合理性[7]。教學評價應較全面、全程、綜合地反映學生的全部學習、教育的動態過程。

在高等數學教學中，核心素養的培養對于學生數學能力的達成、綜合素養的成長有著重要的意義，教師應改變傳統的數學教育觀念，不斷探索和實踐適應時代發展的新型教育模式和科學的教學評價，希望高等數學課程成為培養大學生核心素養最有力的工具。