夯實(shí)原理、善于歸類、巧用方法
——高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中數(shù)論問題的解決

浙江省衢州二中高三一班 謝聞?wù)?/p>

初等數(shù)論的理論知識(shí)在高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題中應(yīng)用十分廣泛，其作為銜接中學(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的橋梁，對(duì)學(xué)生的思維意識(shí)培養(yǎng)具有重要作用。在高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，涉及數(shù)論知識(shí)的競(jìng)賽題都具有很強(qiáng)的綜合性，很多時(shí)候，只需要通過很小一部分?jǐn)?shù)論知識(shí)就可以衍生出無(wú)窮的變化。因此，筆者認(rèn)為，數(shù)論問題的解決要從夯實(shí)原理，學(xué)習(xí)理論基礎(chǔ)開始，然后在做題的過程中分析每一道題目的解題過程，將題型進(jìn)行分類總結(jié)，最后才能在形式多變的數(shù)論題型中巧用解題方法，游刃有余地進(jìn)行解答。

一、夯實(shí)數(shù)論原理，奠定基礎(chǔ)知識(shí)

在做與數(shù)論有關(guān)的數(shù)學(xué)競(jìng)賽題時(shí)，有時(shí)我們會(huì)發(fā)現(xiàn)一些題目表面上看起來非常陌生，讓人感到無(wú)從下手，這時(shí)如果我們能借助原始的定義和概念，對(duì)基本性質(zhì)或者相關(guān)定理進(jìn)行推廣和改進(jìn)，我們就會(huì)在不經(jīng)意間解決看似十分復(fù)雜的難題。因此，在平時(shí)的學(xué)習(xí)當(dāng)中，對(duì)數(shù)論原理的基本概念和定理的牢固掌握十分必要，只有在具備一定基礎(chǔ)知識(shí)的基礎(chǔ)上，才能夠在面對(duì)數(shù)論題目時(shí)，做到以不變應(yīng)萬(wàn)變。

例如，以下這道競(jìng)賽題中，就體現(xiàn)了整除理論中基本性質(zhì)和定理的應(yīng)用：（04年捷克）如果（k∈Z)是整數(shù)，求k。

本題中所出現(xiàn)的題目形式非常簡(jiǎn)單整齊，但是我們一時(shí)間并不知道采取哪一種方法，故而將題目回歸到簡(jiǎn)單的題型當(dāng)中去，首先采取試探加估測(cè)的辦法，證明在取較小的整數(shù)值時(shí)是成立的，然后再根據(jù)題目的特點(diǎn)進(jìn)行合理的變形，這樣我們就由簡(jiǎn)單的情形求得了一般做法。因此，想要深刻理解數(shù)論的基本概念和性質(zhì)，首先要通過訓(xùn)練一定數(shù)量的相關(guān)習(xí)題，在練習(xí)題中發(fā)現(xiàn)其性質(zhì)和概念的巧妙應(yīng)用，進(jìn)而一步一步深化知識(shí)，假以時(shí)日定能顯現(xiàn)成效。

二、分析解題過程，進(jìn)行總結(jié)歸納

在學(xué)習(xí)數(shù)論的過程中我發(fā)現(xiàn)，盡管一些同學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)已經(jīng)很牢靠了，但是在做某些題目的時(shí)候，還是會(huì)在解題過程中有所困頓，感到?jīng)]有方法可循。因此，筆者結(jié)合自身經(jīng)驗(yàn)來看，我認(rèn)為掌握了一定的數(shù)論基礎(chǔ)知識(shí)之后，還要在具體的解題過程中認(rèn)真分析每一道題目的解題方法，并將這些解題方法與其相對(duì)應(yīng)的題目進(jìn)行歸類。只有在總結(jié)和歸納中我們才能提升對(duì)問題的分析和解決能力，甚至在一定程度上達(dá)到舉一反三的效果，最終提煉出自己獨(dú)有的意識(shí)成果。

例如，筆者在數(shù)論學(xué)習(xí)的過程中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)論中有廣泛的應(yīng)用，比如下面一道例題中，就體現(xiàn)了此方法的應(yīng)用。

（50屆IMO題1）設(shè)n是一個(gè)正整數(shù)，a1，a2，…，ak（k≥2）是集合{1，2，…，n}中互不相同的整數(shù)，使得對(duì)于i=1，2，…，k-1，都有n|ai（ai+1-1），證明：nak（a1-1）。

在這道題目的解答中，我們可以先證明對(duì)于任意整數(shù)i（2≤i≤k），都有n|a（1ai-1）成立，然后根據(jù)整除的基本性質(zhì)得出n|a（1ai+1-1），最后根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，推出nak（a1-1）的結(jié)論。顯然，本題應(yīng)用了數(shù)學(xué)歸納法來解決數(shù)論問題，此方法的巧妙之處就在于遇到這一類題目時(shí)，我們首先就會(huì)有一個(gè)明確的思路，在這樣的思路下，即便是我們不理解問題的本質(zhì)，也能順著思路將題目按部就班地做出來。因此，在平時(shí)的練習(xí)中，我們要多分析題目的類型和與之對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)方法，這樣在遇到同類問題時(shí)，就可以減少我們思維的難度，提升解題的準(zhǔn)確率。

三、巧用解題方法，游刃有余解答

正確的解題方法是解決數(shù)論問題的關(guān)鍵，因此，在平時(shí)的練習(xí)過程中，我們要注意觀察和分析，培養(yǎng)思維的靈活性和發(fā)散性，學(xué)會(huì)將數(shù)論問題中的解題方法恰當(dāng)巧妙地應(yīng)用到對(duì)應(yīng)的題型中去，做到對(duì)癥下藥。這樣一來，在解答題目時(shí)，我們就不會(huì)自亂陣腳，反而會(huì)感到得心應(yīng)手，游刃有余。

例如，同余理論和整除理論具有十分緊密地關(guān)系，尤其在整除理論的問題中，我們常常會(huì)遇見判斷數(shù)的整除類問題，由于這一類的題目往往具有一定的技巧性，如果我們?cè)趯W(xué)習(xí)中注意觀察和分析，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，在解這一類問題時(shí)，如果能恰當(dāng)?shù)貙⑼嗬碚搼?yīng)用其中，就能更加深刻地看到問題的實(shí)質(zhì)，從而降低解題難度。另外，還有一些競(jìng)賽題目具有一定的趣味性和靈活性，有的時(shí)候像是在玩一個(gè)小游戲，有的時(shí)候又像是在解決生活中的實(shí)際問題，為了解決這類題型，在平時(shí)的練習(xí)中，我們就要多接觸一些構(gòu)思巧妙、富含創(chuàng)意的數(shù)論題型。這樣一來，既可以激發(fā)我們對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛，還能夠幫助我們開拓視野，養(yǎng)成獨(dú)到的思維和見解。因此，巧用解題方法，對(duì)于我們競(jìng)賽能力的提升，具有重要作用，在遇到一些難題怪題時(shí)，還會(huì)讓我們?cè)诮獯痤}目時(shí)有一種“撥云見日”的感覺。

總之，高中數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽中初等數(shù)論的題型難度通常較大，這就需要我們能夠保持一顆平常心，以自信樂觀的態(tài)度面對(duì)，當(dāng)然，這必定是一個(gè)需要長(zhǎng)期不斷積累的過程，不能急功近利，不然就會(huì)出現(xiàn)事倍功半的現(xiàn)象。因此，為了更好地提升我們的綜合能力，我們要在穩(wěn)固基礎(chǔ)知識(shí)的前提下，通過有針對(duì)性地分析和歸納，巧妙運(yùn)用最恰當(dāng)?shù)慕忸}方法，這才是我們學(xué)習(xí)數(shù)論知識(shí)的最佳方式。