強(qiáng)化數(shù)學(xué)變式教學(xué)，優(yōu)化課堂教學(xué)設(shè)計(jì)

福建省三明第一中學(xué) 朱安全 羅市斌

高中數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算以及數(shù)據(jù)分析，是高中生必須要掌握的數(shù)學(xué)技能。變式就是通過(guò)變換同類事物非本質(zhì)特征的表現(xiàn)形式，或者變更觀察事物的角度以突出事物本質(zhì)的一種研究問(wèn)題的方法。因此，變式教學(xué)就是教師有目的、有計(jì)劃地通過(guò)變換問(wèn)題中的條件或結(jié)論、變化觀察事物的角度等途徑揭示知識(shí)本質(zhì)的教學(xué)方法，這對(duì)于幫助學(xué)生掌握知識(shí)規(guī)律、形成一定的數(shù)學(xué)思維，進(jìn)而發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有一定的作用。因此，本文將從以下幾點(diǎn)闡述如何通過(guò)變式教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、概念變式，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象能力

數(shù)學(xué)抽象就是透過(guò)事物的物理屬性得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的思維過(guò)程。數(shù)學(xué)抽象這一核心素養(yǎng)對(duì)于幫助學(xué)生正確理解數(shù)學(xué)概念、把握數(shù)學(xué)本質(zhì)以及形成基本的數(shù)學(xué)思維具有一定的作用，數(shù)學(xué)概念是學(xué)生理解數(shù)學(xué)本質(zhì)以及解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的關(guān)鍵，但由于學(xué)生本身理解能力不足，學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)欠缺，再加上教師沒(méi)有掌握合適的教學(xué)方法，導(dǎo)致學(xué)生在理解、記憶以及應(yīng)用概念時(shí)常常出現(xiàn)錯(cuò)誤。所以針對(duì)以上問(wèn)題，教師可以開(kāi)展變式教學(xué)來(lái)幫助學(xué)生準(zhǔn)確理解、深刻記憶以及正確應(yīng)用概念，以夯實(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

例如：在學(xué)習(xí)“橢圓”的概念時(shí)，我通過(guò)以下步驟進(jìn)行變式教學(xué)：

1.變式引入：考慮到橢圓和圓具有一定的相似性，所以我用“類比變式”的方法進(jìn)行引入。首先我用圖釘、繩子、粉筆等工具畫(huà)一個(gè)圓，然后讓學(xué)生回憶圓的定義，接著我將一個(gè)圓心變成兩個(gè)焦點(diǎn)，在學(xué)生的幫助下再畫(huà)一個(gè)橢圓，并讓學(xué)生找到畫(huà)橢圓過(guò)程中不變的量，并嘗試描述橢圓的概念。而學(xué)生描述概念的這一過(guò)程，正是通過(guò)橢圓的物理屬性探析其數(shù)學(xué)本質(zhì)的思維過(guò)程，進(jìn)而鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力。

2.變式表征：為了進(jìn)一步深化學(xué)生對(duì)橢圓的認(rèn)識(shí)，我讓學(xué)生根據(jù)橢圓的概念用不同的形式表示橢圓，比如以集合的形式表示，并進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生以方程的形式表示。這也需要學(xué)生通過(guò)橢圓上點(diǎn)和焦點(diǎn)之間的物理關(guān)系來(lái)抽象出橢圓的數(shù)學(xué)本質(zhì)，

3.變式辨析：學(xué)生在理解、記憶橢圓的概念時(shí)難免有所疏漏，比如常常將概念記為“平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫橢圓”，所以我便將標(biāo)準(zhǔn)概念隱去重要條件進(jìn)行變式設(shè)疑：設(shè)F1、F2為定點(diǎn)，|F1F2|=6，動(dòng)點(diǎn)M 滿足|MF1|+|MF2|=6，則動(dòng)點(diǎn)M 的軌跡是？大部分學(xué)生脫口得出“M 的軌跡是橢圓”的答案。于是我便讓學(xué)生畫(huà)圖驗(yàn)證，學(xué)生這才發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，并在橢圓的概念中加上重要條件“常數(shù)大于|F1F2|”。

由此可見(jiàn)，在橢圓概念教學(xué)中，教師合理運(yùn)用變式教學(xué)法，不僅可以強(qiáng)化學(xué)生對(duì)概念的理解，同時(shí)也可以通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)橢圓的物理特征抽象其數(shù)學(xué)本質(zhì)的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)，從而實(shí)現(xiàn)高效的數(shù)學(xué)教學(xué)。

二、一題多變，發(fā)展直觀想象能力

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程。這一核心素養(yǎng)對(duì)于提升學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力、引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)以及培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維具有一定的效用。所以在數(shù)學(xué)幾何教學(xué)中，教師可以采取“一題多變”的教學(xué)手段，從而深化學(xué)生對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解，提高學(xué)生的直觀想象能力。

例如：在學(xué)習(xí)《圓和圓的位置關(guān)系》一課時(shí)，我便帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行變式訓(xùn)練，首先我選取一道較為基礎(chǔ)的題目作為例題：已知圓C1：（x-a）2+（y+2）2=4 與圓C2：（x+b）2+（y+2）2=1 外切，則ab的最大值為？

這道題考查學(xué)生對(duì)外切圓特點(diǎn)的掌握，學(xué)生可以通過(guò)圓心距等于兩圓半徑之和得出即（a+b）2=9，然后再根據(jù)基本不等式可知當(dāng)且僅當(dāng)a=b 時(shí)等號(hào)成立，故而ab 最大值為然后我將問(wèn)題進(jìn)行如下變式：

變式一：已知圓C1：（x-a）2+（y+2）2=4 與圓C2：（x+b）2+（y+2）2=1 內(nèi)切，則ab 的最大值為？

變式二：已知圓C1：（x-a）2+（y+2）2=4 與圓C2：（x+b）2+（y+2）2=1 相交，求公共弦所在的直線方程。

變式三：已知圓C1：（x-a）2+（y+2）2=4 與圓C2：（x+b）2+（y+2）2=1，若兩圓有四條公切線，則直線x+y-1=0 與圓（x-a）2+（y-b）2=1 的位置關(guān)系是？

變式四：兩個(gè)圓C1：x2+y2+2ax+a2-4=0（a ∈R）與C2：x2+y2-2by-1+b2=0（b ∈R）恰有三條公共切線，則a+b 的最小值為？

變式五：已知圓C1：（x-2）2+（y-3）2=1，圓C2：（x-3）2+（y-4）2=9，M、N 分別是圓C1、C2上的動(dòng)點(diǎn)，P 為x 軸上的動(dòng)點(diǎn)，則|PM|+|PN|的最小值為？

變式六：設(shè)m、n ∈R，若直線（m+1）x+（n+1）y-2=0 與圓（x-1）2+（y-1）2=1 相切，則m+n 的取值范圍是？

以上題目都是通過(guò)變換條件或問(wèn)題的方式對(duì)例題進(jìn)行變式，且題目難度由淺及深，可以讓學(xué)生循序漸進(jìn)地進(jìn)行學(xué)習(xí)。其中，變式一、二是針對(duì)原題中“兩圓外切”這一條件進(jìn)行變式，它需要學(xué)生掌握兩圓相切、相交時(shí)各自對(duì)應(yīng)的特點(diǎn)；其中，變式四的條件“兩圓有三條公共切線”是“兩圓外切”的另一種說(shuō)法，學(xué)生在想象兩圓的三條公共切線時(shí)自然可以想到這一點(diǎn)。而變式三則考查學(xué)生對(duì)兩圓相離的認(rèn)識(shí)，變式五、六則進(jìn)一步加深了難度，需要學(xué)生熟練使用數(shù)形結(jié)合的思想方法進(jìn)行畫(huà)圖解答。在解答以上問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生需要不斷在頭腦中變換圖形的位置關(guān)系，并據(jù)此建立形與數(shù)的聯(lián)系，從而找到問(wèn)題的本質(zhì)。所以說(shuō)在數(shù)學(xué)幾何教學(xué)中，教師實(shí)施變式教學(xué)，是幫助學(xué)生由淺及深地理解并熟練運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)以及鍛煉學(xué)生直觀想象能力的有效方法。

三、變式解題，鍛煉數(shù)學(xué)運(yùn)算能力

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，除了要加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)，教師還要注重對(duì)學(xué)生解題技巧的培養(yǎng)。教師可以引導(dǎo)學(xué)生變更觀察問(wèn)題的角度和方法，充分利用現(xiàn)有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)技能尋找多種解題方法。通過(guò)這一過(guò)程，可以讓學(xué)生在嘗試多種解題途徑的過(guò)程中強(qiáng)化對(duì)其運(yùn)算能力的鍛煉，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)。另外，還可以拓展學(xué)生的解題思路，豐富學(xué)生的解題方法，從而有效提高學(xué)生的解題能力和數(shù)學(xué)綜合水平。

例如：在學(xué)習(xí)“函數(shù)”的相關(guān)知識(shí)時(shí)，我們遇到了如下問(wèn)題：求函數(shù)的值域。學(xué)生一開(kāi)始使用判別式法解題，即設(shè)則x2-yx+1=0，然后由Δ=y2-4 ≥0 得出y ≥2，之后進(jìn)行一番分析得出值域。而后我鼓勵(lì)學(xué)生從不同角度思考問(wèn)題，尋求多種解題方法。最后，學(xué)生又到找“單調(diào)性法”“配方法”以及“基本不等式法”，并針對(duì)每一種方法給出了詳細(xì)的步驟，其中不等式法的步驟最為簡(jiǎn)單：從而得出F（x）有最小值2，繼而得出值域。在這一過(guò)程中，可以開(kāi)拓學(xué)生思維，幫助學(xué)生掌握多種解題技巧，從而提高學(xué)生的解題能力。除此之外，學(xué)生還需要根據(jù)函數(shù)、方程和不等式的特征進(jìn)行大量的運(yùn)算來(lái)驗(yàn)證自己的想法，進(jìn)而有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升。

總之，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以結(jié)合教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)和學(xué)生的認(rèn)知水平開(kāi)展變式教學(xué)，以幫助學(xué)生掌握知識(shí)的本質(zhì)和規(guī)律，鍛煉學(xué)生的思維品質(zhì)，并有效發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力，進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)高中數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)。