2018 年全國卷Ⅱ第21 題的解法探究與分析

江蘇省盱眙中學 張 勇

函數是高中數學的重要內容，歷年的高考試題都涉及大量的函數知識，而其中導數解答題常處于壓軸題的位置，難度較大，意在考查考生的運算求解能力、化歸轉化思想以及數學運算和邏輯推理的核心素養。

一、真題再現

該題結果簡潔精煉，第一問考查常規具體三次函數的單調性，較簡單，第二問表述雖極其簡單，但重點考查函數的零點問題，如何通過函數零點存在定理說明函數零點的存在性與唯一性。

二、解法探究

第（1）問較常規，過程如下：

第（2）問解法探究如下：

解法一：

故g（x）只有一個零點。綜上，f（x）只有一個零點。

此方法從函數g（x）著手尋找零點所處位置，關鍵在于尋找較g（x）大的函數和較g（x）小的函數

解法二：

在解法一的基礎上，g（x）至多有一個零點，從而f（x）至多有一個零點。也可以從函數f（x）著手尋找零點所處的位置。

這里說明為什么取3a-1 和3a+1，事實上，取滿足上述條件的值均可，如可知等。

解法三：

綜上，f（x）只有一個零點。

綜上，f（x）只有一個零點。

解法四：

?

綜上，f（x）只有一個零點。

此方法通過討論三次函數的單調性和極值，利用極值點代換來判斷函數極值的正負。