《曲邊梯形的面積》教學分析

孟瑩

（寧夏六盤山高級中學，寧夏 銀川 750000）

選自教材：人教版普通高中課程標準實驗教科書《數學》選修2-2，第一章“導數及其應用”第五節“定積分的概念”第一課：曲邊梯形的面積。

一、背景分析

（一）學習任務分析

《數學課標》下的微積分設計逾越了形式化極限概念學習這一障礙,強調微積分學習的思想性、選擇性和廣泛應用性，主張通過典型例子分析和學生的自主探索活動，使學生理解數學概念，體會蘊含在其中的數學思想、方法，追求數學發展的歷史足跡，把數學的學術形態轉化為易于學生接受的教育形態，進而突出數學概念本質，這也是本次課改力度較大的地方。

本節是繼由變化率認識導數后，通過求曲邊梯形面積的實例，引導學生再一次了解微積分的思想方法：以直代曲和逼近思想。對于絕大部分高中學生來說，求曲邊梯形的面積是一個非常困難的問題，他們很難找到解決問題的方法和步驟。本節課學生將借助問題情境，通過類比圓的面積的求法得到解決它的思想方法，同時借助計算機的直觀形象的演示，讓學生清楚的看到曲邊梯形的面積由量變到質變的變化過程，引導學生感知“以直代曲”和“逼近”的思想方法，并歸納求曲邊梯形面積的“四步曲”。所以本節課既是理解后續定積分概念及幾何意義的基礎,也是充分感受用極限的思想方法思考處理問題的好題材，同時也是培養學生探究能力的好素材。學習任務分析層級圖如下：

任務分析層級圖可使學生把新的學習內容的要素與已有認知結構中特別相關的部分聯系起來，進行有意義的學習。也可清楚的看出本節課的重點：通過求曲邊梯形的面積這一過程，了解定積分的基本思想方法，初步掌握求曲邊梯形面積的步驟的“四步曲”，領會其微積分思想方法。

（二）學生情況分析

1.在知識結構方面

前期必修1中學生已運用逼近思想學習了二分法；必修2中用極限思想方法推導了球的體積公式；必修3中又進一步探究了“割圓術”的思想方法；必修2-2導數的定義學習中再一次體會到了微分和極限思想。因此從知識結構方面高二學生已具有一定的以直代曲、逼近、極限思想，具備了本節課所需的預備知識。

2.能力方面

經過一年多的新課程學習，高二學生的參與、合作意識、自主探究能力、邏輯推理能力、分析問題、解決問題的能力有了明顯提高。但學生對以直代曲、無限逼近的認識只是一些支離破碎的感性認識。而求曲邊梯形的面積對學生的認知水平要求較高，再加上學生沒有系統學習極限的有關知識，所以“怎么分割”、如何“以直代曲”是學生的首要難題，也是本節課的難點；無限逼近比較抽象，所以“逼近、取極限”是學生認知過程中的第二個難點。

3.情感方面

本節課將通過創設問題情境、畫圖操作驗證、自主探究、合作交流等數學活動充分調動學生的好奇心，結合高二學生想探求新奇的心理，更大限度地調動學生的認知內驅力，讓他們更多地體驗成功的喜悅。

二、教學目標設計

《數學課準》指出本節課的目標是：通過求曲邊梯形的面積從問題情境中了解定積分的實際背景；借助幾何直觀體會定積分的基本思想。我結合《數學課標》及學習任務分析和學生實際情況將本節課的教學目標確定為：

（一）知識與技能：

1.初步了解、感受定積分的實際背景。

2.體會“以直代曲”，“逼近”的思想。

（二）過程與方法：

通過探求曲邊梯形的面積的過程，了解用“分割、近似代替、求和、取極限”的方法、步驟分析問題，從而培養學生的邏輯思維能力。

（三）情感與價值

讓學生在探究中進一步感受極限的思想，體會直與曲雖然是一對矛盾，但它們可以相互轉化，體現對立統一的辯證關系，在問題解決中體驗成功的愉悅，感受數學的魅力。

三、課堂教學設計

《數學課標》要求課堂設計要重視知識發生、發展過程，要體現基礎性、興趣性、層次性。要求教師引導學生主動地從事觀察、實驗、猜想、驗證、推理與交流等數學活動，從而使學生形成對數學本質的理解。基于此，本課采用“問題-探究”課堂教學模式，設計為：一個核心，多個層次，多種選擇。如下圖，以曲邊梯形的面積為核心，通過這個載體，學生經歷觀察、動手操作、驗算、討論交流、總結歸納等活動，進而獲得全方位的發展。學生學好核心內容后，根據需要，有多種選擇，每個人都獲得必備的數學素養與最佳發展。

四、教學媒體設計

根據本節知識本身的抽象性及作圖的復雜性，在教學中將P53頁的信息技術應用板塊整合到本節課中，采用直觀生動地展示分割過程和以直代曲的動態變化情況，再現了知識的發生過程，這樣不僅提高了教學效率，更有效地突出教學重點，突破教學難點，并且讓學生親眼目睹數學知識產生過程形象生動的特點，親身體驗數學活動的樂趣，培養學生創新意識，真正體現了知識與技能，過程與方法、情感態度價值觀三維目標。

針對以上分析，我認為，在新課程實施過程中，教師首先必須轉變觀念，要準確把握課標教材的教學要求。在本節課的的教學中，教師必須轉變微積分的主要內容就是形式化的計算的傳統觀念，要淡化極限的形式化定義，在定積分概念的引入上多下工夫，要讓學生通過圖象直觀、動態演示來理解定積分的本質。