U型學習：數學深度學習的一種樣態*

在當下的小學數學教學中，表演、表面、表層的課堂教學現象還大量存在。因此，引導學生進行深層、深入、深度的學習，發展學生的學科能力，成為不少教師的教學追求。由此，筆者進行了“U型學習”的探索。以下本文擬對“U型學習”的內涵、特征及其在數學教學中的實踐作簡要闡述。

一、“U型學習”的內涵

“U型學習”是指學習者學習知識需要經歷一個復雜的過程——還原與下沉、體驗與探究、反思與上浮，這一過程恰似一個“U型”。從書本知識到個人知識，首先需要使書本符號知識與學生的個體經驗建立關聯，這就是知識的下沉過程。“U型”底部是學生對知識進行加工的過程，即對知識進行深度的探究、體驗，從而形成對知識的深度理解，這是整個學習過程中最關鍵的環節。第三個環節是知識的上浮，當學生對知識進行深度探究后，要及時引導他們進行反思，促使他們將獲得的知識與自己的意義系統對接，真正將書本知識變成個人知識。

二、“U型學習”的特征

1.意義性。“U型學習”強調學生多樣化的學習投入，如經驗投入、情感投入、思想投入和實踐投入，主張讓符號化的知識真正進入學生的意義系統，在學生心靈深處相遇、融匯、貫通，豐盈學生的精神世界，增長學生的智慧，使知識學習真正有意義。

2.建構性。“U型學習”強調知識的建構過程。要求教師對知識進行深加工，把準知識的核心內涵，引導學習者主動參與知識的發生、發展過程，由表及里，逐層建構，逐步領悟知識的結構，理解知識的本質。

3.發展性。“U型學習”強調學生是教學的主體。課堂教學需要促進學生在認知方式、情感體驗、思想境界等方面發生變化，使他們的學科核心素養與關鍵能力得到提升，真正豐富課堂的教育涵養，提升課堂的發展性。

三、“U型學習”的教學實踐

“U型學習”是數學深度學習的一種樣態。在小學數學教學中開展“U型學習”，有助于教師引導學生更加完整地經歷認知過程和情感過程，經歷深度的探究、理解、體驗、對話和反思過程，從而更好地發展數學學科能力。

（一）還原與下沉——建立關聯

1.合理具象。

合理具象就是把原本只能想象到卻看不到、摸不著，有時甚至很難說清的數學現象，形象化為看得見、易理解的具體事物或具體直觀。數學教材中呈現的大多是抽象的數學概念、公式、符號，學生學習時往往會感到枯燥，經常會出現一知半解的情況。這就需要教師挖掘數學知識本身的特點，引導學生在抽象的知識與具體的事物之間建立聯系，使他們實現意義學習。

例如：教學蘇教版三上《三位數除以一位數》一課時，引導學生計算“536÷4”，根據前面學到的運算法則，學生基本都能一步一步計算出結果。但不少學生卻說不出豎式背后的意義，不理解其中的算理。這時，就需要教師將這一知識具象化，借助具體的事物（如小棒圖）來幫助學生理解。讓學生將抽象的豎式與形象的小棒圖相結合，數學知識就不再是抽象的符號了。

合理的具象具有啟發性、形象性、易化性等特點，可以使難以捉摸的概念、法則變得能看到、能感受到，使復雜、深奧的事物簡單化、淺顯化，從而調動學生學習的信心和興趣，使學生由表及里、由此及彼逐步接近知識本質。

2.還原生活。

抽象的數學概念是對生活現象、事物共性的符號化提煉，許多數學知識都有生活原型。數學的生活原型是指蘊含數學知識的生活背景、生活經驗、生活事例、生活表達等，它是溝通生活與數學的橋梁和紐帶。教師要努力找到數學與生活的有效鏈接點，善于提煉能促進學生數學學習的生活材料，喚起學生已有的生活經驗，消除學生對數學知識的陌生感，使數學知識有效下沉。

例如：教學蘇教版三下《兩位數乘兩位數》一課時，讓學生在理解算理的基礎上掌握算法，使算法和算理相融，是教學的重要目標。要做到這一點，就需要合理地還原生活，如面對“42×13”，可以設置這樣的生活情境來引導學生計算：一箱牛奶42元，13箱這樣的牛奶要多少元？學生列出算式后很容易就能想到：先算3箱牛奶的價錢，再算10箱牛奶的價錢，然后把3箱牛奶的價錢與10箱牛奶的價錢合起來。看似簡單的口算過程卻孕伏著筆算的算理，教師適時點撥：能不能將剛才的口算過程寫到豎式中來呢？從而逐步完成從口算到豎式的過渡。這里，通過創設生活情境，使看似抽象的豎式算理變得可視化、意義化起來。

數學知識的理解需要基于生活原型這個根基，這個根基的豐厚程度決定著知識建構的質量。因此，教師應積極挖掘數學知識的生活原型，基于生活原型的直觀性來促進學生理解抽象的數學概念，從而實現生活原型對新知建構的催化功能。

3.嵌入文化。

在數學教學中，如果能以一個精彩的文化故事給數學知識來一段“背景綜述”，揭示數學知識產生、發展的過程，將有助于喚起學生的求知欲，引發他們的數學思考。因此，教師應努力挖掘數學知識中蘊含的文化資源，以期實現數學教學科學求真與人文熏陶的和諧融合。

例如：教學蘇教版四下《確定位置》時，可以用這樣一個故事引入：笛卡爾是法國著名的哲學家、數學家、物理學家，解析幾何學的奠基人。一次，他想：能不能用數來確定一個點的位置呢？卻始終不得法。有一天，他生病了，躺在床上還在反復思考這個問題：有什么辦法能將點和數聯系起來呢？突然，他看到墻角有蜘蛛在織網，蜘蛛網上有很多交點，這些點是橫著和豎著的蜘蛛絲相交而成的。“有了！”他忍不住叫了起來，“用兩個數就可以將點的位置確定下來了啊！”于是，笛卡兒最終發明了數對。為了更直觀地表示，笛卡兒還把蜘蛛網簡化成了網格，也就是我們學習的平面坐標系。教師引入笛卡爾發現數對的故事，使原本冰冷的數字變得有溫度，溫暖了學生的心田。

在數學教學中，如果簡單地陳述數學概念、數學定理，似乎沒有文化意味。但是，只要想想為什么要研究這些概念、定理，就會涉及數學的文化價值。依托豐厚的社會背景、鮮活的文化背景、數學發展過程中人類探索發現的精神力量來學習數學知識，就可以讓數學知識變得有血有肉、有情有味起來。

（二）體驗與探究——促進理解

1.開展數學活動，讓學生經歷知識的再創造過程。

數學學習是一個動態的過程。學生在數學學習過程中應開展大量的觀察、實驗、操作、假設、想象、推理、判斷等活動，而不是被動地接受教材或教師給出的現成結論。教師要善于組織豐富、合理的數學活動，讓學生經歷數學知識的再創造過程，并引導他們主動進行數學思考，在探究過程中對知識產生深刻的理解。

例如：教學蘇教版三下《長方形的面積》一課，教師應引導學生主動探究長方形的面積計算公式。首先，可以創設擺一擺的活動，讓學生用小正方形任意拼長方形，并交流每個長方形一排擺幾個、擺了幾排、共用了幾個小正方形、面積是多少等問題。在各組學生充分交流的基礎上，讓學生猜想：長方形的面積與什么有關？接下來可以進行三次驗證活動——學生分別在長5厘米、寬3厘米，長10厘米、寬8厘米，長100厘米、寬50厘米的長方形中擺小正方形，并引導他們經歷從擺滿小正方形求面積，到只要沿著長和寬擺就可以推出面積，再到只要用長乘寬就可以算出面積的過程。這里擺小正方形的活動放大了探究過程，讓學生經歷了長方形計算公式的再創造過程，理解了面積計算公式的本質意義。

學生是積極的探究者。教師要善于創設探究活動，讓學生自己去發現和感悟，這樣，他們獲得的將不再是抽象的知識，而是具體生動的知識，不僅是靜態知識的增長，還有數學學科能力的顯性增強。

2.深入對話交流，啟迪學生進行深層次的思考。

有效的探究離不開師生的有效對話。有效的對話不是師生間簡單的一問一答，而是學生在教師引領下圍繞核心問題進行深入的思考和積極的表達，教師給予適當的啟發、點撥、追問等，使學生的思維活動逐漸走向深入。這樣的對話具有建構意義的功能，為課堂的意義增值提供了可能。

例如：教學蘇教版三下《認識分數》，教師設置了猴子分桃的情境鏈。首先將1個桃平均分給4只小猴吃，問學生每只小猴吃到這個桃的幾分之幾，學生都能說出正確答案。之后，教師設問：把2個桃平均分給8只小猴吃，每只小猴又吃到這些桃的幾分之幾呢？出現了兩種答案，教師反問：兩種答案似乎都有道理，哪一種更加合理呢？經過思考與爭辯，學生一致認為：只要看平均分成的份數和取的份數，與總個數沒有關系，所以是。教師繼續追問：為什么每次分桃的個數不同，每次吃桃的個數也不同，卻都可以用來表示呢？核心問題串的引領啟迪學生深入思考，他們對分數意義的理解逐漸深刻起來。

鐘啟泉教授指出：“對話性溝通超越了單純意義的傳遞，具有重新建構意義、生成意義的功能。來自他人的信息為自己所吸收，自己的既有知識被他人的視點喚起了，這樣就可能產生新的思想。”因此，教師要在知識關鍵處、理解疑難處、思維轉折處、規律探求處與學生深入對話，啟發學生思考，把他們的思維推向縱深處。

3.建立多元表征，促進學生的個性化理解。

多元表征是指將數學知識用圖形、符號、語言等多種形式進行表達。對數學知識進行多元表征，就是從不同的視角對數學知識進行視覺化或體驗化的闡述，從而使學生達到對數學本質的感悟。對數學知識進行多元表征必須以數學探索作為教學形式，即必須豐盈數學知識的探索過程。

例如：“千米”是一個抽象的概念。教學時，如果僅僅讓學生用“1千米=1000米”來表征它，那么，他們對千米的理解是遠遠不到位的。教師必須引導學生進行多元表征。課前，可以帶領學生到操場上走1000米，讓學生數好步數，教師計時。此時，學生會用走1千米大約用了15分鐘、大約走了1500步等來表征，還能用“有點長，走得有點累”這樣的感覺來表征。接著，可以讓學生想一想從學校到附近哪個地方的距離大約是1千米，引導學生找到距離學校1千米的一個地方，并延伸出距離2千米、3千米的參照物，讓學生用具體事例來表征1千米，最后再用1000米這個數字來表征1千米。這樣的多元表征過程，豐富了學生對千米的體驗，促進了他們對千米的理解。

對數學知識進行多元表征，能使學生從具體到抽象地把握數學的關系結構模式，強化他們對數學知識本質特征的理解。教師要鼓勵學生進行多元表征，使他們從不同的角度促成表征之間的靈活轉換，從而建立一個和諧、統一的表征系統。

（三）反思與上浮——獲得意義

1.引導反思，促學生習得解題策略。

數學學習涉及諸多解題策略。解題策略既是內隱的規則系統，也是外顯的程序與步驟。學生能否靈活地選擇與運用解題策略，反映了他們基本的數學學習能力。當一系列數學活動結束后，教師要及時引導學生反思，總結問題解決過程中的共同點，使他們習得一類問題的解題策略，獲得持續的學習力。

例如：解決實際問題中常見的“和倍和差”問題時，有些學生拿到題目就列算式，缺乏解決問題的一般思路與經驗，題目中的條件稍一變化便出錯，這就需要教師有點撥策略的意識。一開始碰到這類問題時，教師就要引導學生思考：碰到這類題目，我們可以先干什么？引導學生強化線段圖的意識，接著引導：我們應根據哪個關鍵句來畫線段圖？指導學生畫線段圖的方法。

在學習過程中，學生往往會根據問題的具體情境來確定解題方法，因而常常會出現同一類型的題目換個情境就不會做的現象，這就需要教師及時引導學生進行反思、提煉、概括，促使他們從解決問題的過程中形成策略意識。

2.引導反思，促學生完善認知結構。

數學學習過程就是數學認知結構形成、變化和完善的過程。教師要有整體意識，從高處著眼，及時幫助學生將點狀的知識系統化、結構化。當一個新知探究結束后，教師要善于拋出合理的問題或有針對性的練習，讓學生在反思中完善認知結構。

例如：教學蘇教版五下《異分母分數加減法》一課，探究出異分母分數加減法的算理、算法之后，還要及時出示整數加減法和小數加減法的練習，讓學生回憶整數加減法是怎樣計算的，小數加減法又是怎樣計算的，使他們明白不管是“分數單位相同”還是“相同數位對齊”“小數點對齊”，其實都是“把相同單位的數相加減”。這樣，就把分數、整數、小數加減法的算法做了很好的溝通，在一定程度上完善了學生的認知結構。

影響學生意義學習最重要的因素是他們的認知結構。學生在課堂學習中經歷了一系列數學活動，積累了一定的數學經驗。這些經驗猶如一顆顆散落的珍珠，需要教師引導學生及時梳理，帶領他們將那些經驗穿成串、形成鏈，從而促進學生完善認知結構。

3.引導反思，促學生感悟數學思想。

數學思想是數學學習的精髓，可以讓學生終身受益。因此，引導學生感悟數學思想尤為重要。數學教學不能止步于得出數學結論，不能停留于經歷探究過程，而要引導學生對知識探究過程進行追溯，體會知識之間的內在聯系，歸納、提煉認知過程中運用的數學思想。

例如：教學蘇教版五上《多邊形的面積》一課時，就要引導學生回顧反思探究的歷程，使他們感悟轉化的思想。推導出平行四邊形的面積計算公式后，就可以適時引導學生反思：碰到新問題時我們想到了什么？轉化后有什么好處？如果是其他平面圖形，我們也可以這樣轉化嗎？此時，學生對轉化思想有了朦朧的認識。后續教學三角形面積、梯形面積后，還要進一步引導學生反思、比較每種平面圖形的面積推導有什么共同之處，以后可以怎樣運用，此時，轉化思想初步形成。

數學思想的獲得主要靠學生逐步感悟，這一內化、感悟的過程非常重要，且無人能代替。在數學學習過程中，教師應引導學生自覺檢查自己的思維活動，反思自己是怎么發現和解決問題的、運用了哪些方法、獲得了哪些經驗等。

總之，“U型學習”強調教學過程的豐厚性，倡導突出數學學習的意義性，有利于真正促使學生將書本知識有效轉化為個人知識。