高等數(shù)學(xué)中極限概念教學(xué)的探析

劉現(xiàn)芳

摘 ? 要：極限概念幾乎貫穿整個(gè)高等數(shù)學(xué)，因而突出了極限概念在高等數(shù)學(xué)中的重要性。教師在教授學(xué)生高等數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，要注重思維的培養(yǎng)與正確引導(dǎo)，利用科學(xué)、合理的方法全面激發(fā)學(xué)生的獨(dú)自思考能力。基于極限思想對(duì)高等數(shù)學(xué)的重要性，本文就極限概念做了重點(diǎn)闡述，通過(guò)概念講解，突出了極限的特性，針對(duì)現(xiàn)階段學(xué)生在學(xué)習(xí)極限概念時(shí)存在的問(wèn)題進(jìn)行分析，并找出解決方案，以求更好地為學(xué)生展示極限概念的原理，培養(yǎng)學(xué)生的極限思想，使學(xué)生能夠順利完成接下來(lái)的學(xué)業(yè)。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué) ?極限概念 ?認(rèn)知分析 ?教學(xué)分析

中圖分類號(hào)：O171-4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號(hào)：1674-098X（2019）08（c）-0228-02

在我國(guó)高職院校中，高等數(shù)學(xué)是理工科專業(yè)的必修課，而極限概念又是整個(gè)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，因此對(duì)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)有著重要的影響。目前，極限概念的學(xué)習(xí)困難主要與其嚴(yán)密的邏輯關(guān)系有關(guān)，在教學(xué)過(guò)程中，教學(xué)主體的錯(cuò)位導(dǎo)致學(xué)生的邏輯思維得不到充分發(fā)揮。只有正確把握教與學(xué)的地位，才能夠有效引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立思考，以更好的掌握極限概念知識(shí)。

1 ?高等數(shù)學(xué)中的極限概念

極限概念作為一種思想，指引著高等數(shù)學(xué)的理論概念。如果掌握不好會(huì)影響接下來(lái)的微積分學(xué)習(xí)。通俗來(lái)說(shuō)，極限概念的定義有兩種：

（1）假設(shè)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間內(nèi)，假設(shè)時(shí)，則函數(shù)f（x）會(huì)無(wú)限接近一個(gè)確定的常數(shù)A，則稱A為當(dāng)x趨于+∞時(shí)函數(shù)f（x）的極限。記作limf（x）=A，x→+∞。

（2）假設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)a的左、右近旁，那么x無(wú)限趨近a時(shí)（記作x→a），當(dāng)函數(shù)值無(wú)限接近一個(gè)確定的常數(shù)A，則稱A為當(dāng)x無(wú)限趨近于a時(shí)，函數(shù)f（x）的極限值。記作limf（x）=A，x→a。

2 ?極限概念的認(rèn)知分析

2.1 無(wú)限與極限的區(qū)分

在學(xué)生的認(rèn)知理念中，存在無(wú)限概念與極限概念相混淆的情況，無(wú)限是基于哲學(xué)層面的，包含范圍廣。而極限只是無(wú)限中的一種，即無(wú)限逼近，是一種數(shù)學(xué)概念。

2.2 極限概念的吸收層次

學(xué)生對(duì)極限概念的學(xué)習(xí)從認(rèn)知層面開(kāi)始，從極限概念的二重性與無(wú)限逼近的認(rèn)知中，了解極限概念的基本含義，從而進(jìn)一步站在無(wú)限概念的視角上，意識(shí)到極限演變過(guò)程的整體構(gòu)造與可執(zhí)行性。通過(guò)對(duì)極限概念的進(jìn)一步認(rèn)知，學(xué)生會(huì)把思路推動(dòng)到極限概念的演繹中，從而可以正確使用嚴(yán)密的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，來(lái)羅列極限的演變過(guò)程。

3 ?極限概念的教學(xué)分析

3.1 運(yùn)用正確的方法把學(xué)生引入極限概念中

要校正學(xué)生多年來(lái)的學(xué)習(xí)習(xí)慣，并逐步向智慧學(xué)習(xí)的層面引導(dǎo)。為了把極限概念的正確認(rèn)知灌輸?shù)綄W(xué)生的意識(shí)中，可以充分利用直觀方法，來(lái)標(biāo)顯極限概念的思想。

3.1.1 割圓術(shù)

將圓做內(nèi)接正多邊形細(xì)割圓等分處理，內(nèi)接正12邊形、內(nèi)接正24邊形、內(nèi)接正48邊形、…、內(nèi)接正12×2n-1邊形，對(duì)應(yīng)面積為S1、S2、S3、…、Sn。因此，針對(duì)割圓術(shù)引出一個(gè)數(shù)列，即S1，S2，S3，…，Sn。隨著內(nèi)切割面的增加，使內(nèi)接正邊形的邊數(shù)增加，從而更加接近圓形。這里，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考無(wú)限接近圓形的S值，這是一個(gè)極限，從而用割圓術(shù)引導(dǎo)出極限概念。

3.1.2 極限承受

研究一匹馬能夠承受的極限載重量，在馬背上不斷的增加糧食的重量，1kg，2kg，3kg……nkg，從而引出數(shù)列M1，M2，M3……Mn這里的n指馬倒下前所承受的最后的重量，也是其所承受的極限值。

利用學(xué)生的認(rèn)知來(lái)進(jìn)行極限概念的引入，使學(xué)生對(duì)極限概念形成正確的理解，有利于其在接下來(lái)的極限知識(shí)理解。

3.2 從極限法則出發(fā)推廣到函數(shù)

3.3 利用事例引導(dǎo)學(xué)生掌握極限概念中的難點(diǎn)

3.3.1 ε的二重性

一般來(lái)說(shuō)，學(xué)生對(duì)ε的二重性理解較為片面，因此，對(duì)于給定ε而求N的求解難以應(yīng)對(duì)。要讓學(xué)生全面打開(kāi)思路，就要把最關(guān)鍵的條件凸顯出來(lái)，即n>N，由此推出∣an-a∣<ε，在n>N這個(gè)條件中，當(dāng)n無(wú)限增加時(shí)，an就會(huì)無(wú)限接近常數(shù)a，即∣an-a∣可以無(wú)限的小，但是依然大于零，因此∣an-a∣這個(gè)公式可以表現(xiàn)an與a之間的無(wú)限接近度，最后求出N。

3.3.2 N的二重性

3.4 引導(dǎo)學(xué)生掌握并延伸極限概念

極限概念在整個(gè)高等數(shù)學(xué)的中都有體現(xiàn)，因此，在完成極限初步概念的同時(shí)，要培養(yǎng)學(xué)生正確的極限思想。使學(xué)生在樹(shù)立直觀思想的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生利用極限思想向拓展層面發(fā)展，把極限概念全面運(yùn)用到定積分、導(dǎo)數(shù)、二重積分及曲線積分的概念學(xué)習(xí)中。

4 ?結(jié)語(yǔ)

高等數(shù)學(xué)一直以來(lái)都是教學(xué)難點(diǎn)，因其嚴(yán)密的邏輯性及推理性，使得學(xué)生無(wú)法更好的掌握其概念，因而形成了學(xué)習(xí)困難。要知道高等數(shù)學(xué)及極限概念因其難度系數(shù)較大，需要長(zhǎng)時(shí)間的學(xué)習(xí)，循序漸進(jìn)的理清理論概念，打開(kāi)分析思路，從而才可以奠定較為扎實(shí)的基礎(chǔ)。教師要從實(shí)際出發(fā)，通過(guò)掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)困難，從而有效地展開(kāi)教學(xué)，全力激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生走出學(xué)習(xí)誤區(qū)。

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