“式”與“圖”上架構起“乘法分配律”

陳佳佳

設計前思考：

乘法分配律是所有運算定律當中學生最難掌握，出現錯誤率最高的類型，有很多形式的算式容易和它混淆。要想使學生有效建構乘法分配律這一數學模型，教師首先要引導學生從生活原型中提煉出數學模型，并在初步感知模型的基礎上逐步向建構模型過渡。而幾何直觀無疑是幫助學生感知模型的有效載體。因此，我試圖通過長方形的圖形模式，讓學生看到乘法分配律的同時，能在腦中自然地建立圖形樣式。利用圖去理解乘法分配律的內在含義。并且我意圖溝通相同計數單位運算和豎式計算中所包含的乘法分配律的雛形，把“昨天”“今天”和“明天”的知識連成線。

教學目標：

1.嘗試解決實際問題，發現并概括乘法分配律。

2.初步感受乘法分配律的簡便計算功能。

3.通過觀察“式”與“圖”，理解抽象運算定律，發展概括能力，自主研究能力。

教學流程：

一、溝通導入

熱身題：

2個蘋果+10個蘋果=（ ?）個蘋果

2個100+10個100=（ ?）個100

2個25+10個25=（ ?）個25

【回憶以前學習的相同計數單位的計算中所蘊含的乘法分配律。】

二、探索新知

1.來看今天要解決的問題：

學校有一塊方形實驗基地，原來寬5米，長16米，后來進行擴建，長增加了4米。問：現在實驗基地的面積是多少？

（1）讀題，有哪些關鍵信息？

（2）根據關鍵信息，形成圖示：

（3）列式計算。（請學生板書，選擇兩種不同的方法）

5×（16+4） 5×16+5×4

=5×20 ? =80+20

=100（平方米） ? =100（平方米）

說說它們分別先算什么。

用兩種不同的方法，解決了同一個問題。這兩道算式之間存在著密切的關系，我們將它們聯結起來：

5×（16+4） = 5×16+5×4

像這樣的算式我們是不是曾經見到過很多次。

【利用解決問題的兩種不同方法，溝通起乘法分配律兩種形式間的內在聯系。利用圖示的分解，在學生大腦中建立乘法分配律所對應的圖形模式。】

2.老師選了兩道我個人比較喜歡的算式：

15×（17+3）=15×17+15×3

25×（8+4）=25×8+25×4

（1）你能通過算式猜出這兩個同學圖是什么樣的嗎？

（2）這兩組算式，你更喜歡算左邊的還是右邊的，為什么？

（17和3可以湊整，25和4是絕密搭檔）

【通過例題的仿編，模型數據的變化，感受數據不斷變化中不變的規律，那就是乘法分配律的實際含義。】

3.像這樣的算式能寫完嗎？有什么辦法表示出這種算式的關系？（字母）

a×（b+c）=a×b+a×c

這就是乘法分配律，板書課題。

一個a怎么變成了兩個a，a會分身嗎？

（一個數乘兩個數的和，可以將這個數和這兩個數分別相乘，再相加。a和b碰碰面，a和c也碰碰面，一個a就變成了兩個a）

4.回顧以前

“2個25+10個25=（ ?）個25”

課前熱身時，我們看到過乘法分配律的影子，只是昨天（板書：昨天）你見它不識它，今天你能認出它嗎？（板書：今天）把這道算式翻譯一下：

2×25+10×25=（2+10）×25

“昨天”的兩位數乘兩位數計算里也藏了乘法分配律，你能揭開它的面紗嗎？

25×12=25×2+25×10

5.昨天你見它不識它，今天你真的能認出它嗎？考考你：（判斷）

125×（8+4）=125×8+4（125忘了和4碰碰面，4有一點點傷心）

36×99+36=36×（99+1）（哪來的1呢？36里藏著一個1，看到了看不見的）

25×（4×9）=15×5+15×9（是4×9，不是4+9，左邊的算式讓你想起了哪個運算定律——乘法結合律）

三、自主研究

1.大膽猜測a×（b-c）=a×b-a×c成立嗎？

2.小組討論，可以用舉例的方式驗證，也可以借助長方形模型驗證。

3.匯報：生一：8×（12-2） ?8×12-8×2

=8×10 ? ? ? =96+16

=80 ? ? ? ?=80

還有像他這樣舉算式驗證的嗎？你們的兩道算式相等嗎？

生二：

圖示驗證：a×（b-c）就是先求出縮小后的寬，再算長乘寬，求出陰影的面積;也可以先算大長方形的面積a×b，再算小長方形的面積a×c，最后減一減求出陰影面積。

四、思考“明天”

1.明天讓你繼續研究你還會嗎？（板書：明天）回顧今天的研究方法有哪些？（列舉法、圖示法）古希臘數學家畢達哥拉斯研究數學問題時，就喜歡在地上用石頭擺各種圖形來幫助自己研究數學問題。

2.用上這些方法我們可以繼續研究：

29×2+29×3+29×5（三組乘法相加，或者更多組呢，乘法分配律還成立嗎？）

47×18+47×4-47×2（有加有減呢，乘法分配律還成立嗎？）

等你來研究！

【利用今天研究問題所采用的兩種策略，放手讓學生探索含減法的乘法分配律，引發學生對后續拓展內容的思考。學習方法的掌握比知識的簡單習得更有意義，“授人以漁”好過“授人以魚”。】

編輯 謝尾合