利用導數解決數學問題

（江門市江海區外海中學 廣東江門 529000）

導數是一個特殊的函數，它的引出和定義始終貫穿著函數思想，它給高中數學增添了新的活力，特別是導數廣泛的應用性，為解決函數、切線、不等式、數列、實際等問題帶來了新思路、新方法，為我們展現出了一道亮麗的風景線，也使它成為新教材高考試題的熱點和命題新的增長點．這幾年的高考命題趨勢表明：導數已經由以往的“配角”地位上升到“主角”，成為分析問題和解決問題的重要工具．將導數與傳統內容結合，不僅能加強能力的考查力度，而且也使試題具有更廣泛的實踐意義．

題型一：導數與恒不等式

例：已知向量a=（x2，x+1），b=（1－x，t），若函數f（x）= a．b在區間（-1，1）上是增函數，求t的取值范圍。

解法一： 由f（x）= a ．b得f（x）=x2（1－x）+t（x+1）=－x3+x2+ tx+ t，則f/（x）= －3x2+ 2x+ t，若f（x）在（-1，1）上是增函數，則在（-1，1）上可設f/（x）≥0。所以f/（x） ?t≥3x2－2x在區間（-1，1）上恒成立。

故t的取值范圍是t≥5。

解法二： 由f（x）= a ．b得f（x）=x2（1－x）+t（x+1）=－x3+x2+ tx+ t，則則f/（x）= －3x2+ 2x+ t，若f（x）在（-1，1）上是增函數，則在（-1，1）上可設f/（x）≥0。

因為f/（x）= －3x2+ 2x+ t的圖象是開口向下的拋物線，所以當且僅當f/（1）= t－1≥0，且f/（-1）= t－5≥0時，f/（x）在（-1，1）上滿足f/（x）＞0，即f（x）在（-1，1）上是增函數。

故t的取值范圍是t≥5。

啟思：考察導數與二次函數知識點的綜合應用，在解題過程中，對恒不等式的理解是解題的關鍵。

變式題：

已知函數f（x）=x3－tx－1（1）若f（x）在R上單調遞增，求t的取值范圍。（2）是否存在實數t，使f（x）在（—1，1）上單調遞減，若存在，求出t的取值范圍；若不存在，請說明理由。

題型二：導函數的極值與分類討論

例：設函數f（x）= 2x3－3（a+1）x2+ 6ax+ 8。（1）若f（x）在x= 3處取得極值，求常數a的值；（2）若f（x） 在（—∞，0）上為增函數，求a的取值范圍。

解：（1）f/（x）= 6x2－6（a+1）x+ 6a=6（x－1）（x－a）.

因為f（x）在x= 3處取得極值，所以f/（3）= =6（3－1）（3－a）=0。解得a=3。

經檢驗知當a=3時，x= 3為f（x）的極值點。

（2）令f/（x）= 6（x－1）（x－a）=0得x1=a，x2=1.

當a＜1時，若x∈（—∞，a）∪（1，+∞），則f/（x）＞0，所以f（x）在（—∞，a）和（1，+∞）上為增函數。故當0≤a＜1時，f（x） 在（—∞，0）上為增函數。

當a≥1時，若x∈（—∞，1）∪（a，+∞），則f/（x）＞0，所以f（x）在（—∞，1）和（a，+∞）上為增函數。從而f（x）在（—∞，0）上也為增函數。

綜上所述，當a∈ [0，+∞）時，f（x） 在（—∞，0）上為增函數。

啟思：當給定函數含有字母參數時，分類討論常常難于避免，不同的化歸方法和運算程序往往使分類方法不同，應注意分類原則和討論的準確性。

變式題：

已知函數f（x）=x3＋3bx+2c，若函數f（x）的一個極值點落在x軸上，求b3+c2的值。

題型三：導函數與轉化的思想方法

例：曲線y=f（x）= ax3＋bx2+cx，當x=1—時，f（x）有極小值，當x=1+時有極大值，且在x=1處切線的斜率為。（1）求f（x）；（2）曲線上是否存在一點P，使得y=f（x）的圖象關于點P中心對稱？若存在，請求出點P的坐標，并給出證明；若不存在，請說明理由。

解：y=f（x） = ax3＋bx2+cx在x=1—時，f（x）有極小值，當x=1+時有極大值，所以f/（1±）=0即1±為3ax2＋2bx+c=0的兩根。

（2）設存在P（x0，y0），使得f（x）的圖象關于點P中心對稱，則

f（x0+x）+ f（x0－x）=2y0。即

因為對于任意x∈R等式都成立，

啟思：本題是函數解析式、導數、解析幾何中的點對稱等內容的綜合應用，而把導函數轉化相應函數知識點是關鍵，解題的整個過程中也充滿了分析和推理，需要有較強的問題解決能力和綜合素質。

變式題：已知函數y=f（x）= ax3＋bx2-3x在x =±1處取到極值。（1）求f（x）的解析式；（2）過點A（0，16）作曲線y=f（x）的切線，求此切線方程。

利用導數解決數學問題無論是對于學生的知識能力的要求還是意志品質的要求都比較高，在考試有限的時間內完成也不是容易的事情，所以對于這類題問題，在教學的過程中除了要加強訓練，還要注意培養學生解題能力和良好的心理素質。