“定積分存在的條件”問題情境教學設計
——從Riemann函數看Riemann積分

（湖南城市學院理學院 湖南益陽 413000）

一、內容分析

定積分是理解《數學分析》積分理論的基石，教材[1]先闡述了達布和的定義和性質，在此基礎上證明了定積分存在的第一和第二充要條件。我在教學中利用定積分存在的兩個充要條件歸納總結了Riemann函數的一些性質，在此基礎上精心創設具有探究性、開放性的問題情境，讓學生產生必要的認知沖突，有效調動學生積極思維，主動參與認知的發現過程，引導學生不斷提出問題，澄清了一些錯誤理解，證明了R可積函數類的一些深刻性質，為學生學習廣義積分、重積分、復積分和實分析打下了基礎。

二、教學設計

1．利用復習環節作好鋪墊。

從宏觀上分析定積分存在的第一和第二充要條件的內在聯系，闡述第一充要條件與第二充要條件的應用方法，為Riemann函數R可積的證明作準備。

復習：

幾個記號：

分劃：

（1）復述定積分存在的兩個充要條件。

推論1 有界函數f(x)在[a,b]上R可積的充分必要條件是：對?ε＞0，存在分劃Δ，

定理2（定積分存在的第二充分必要條件）有界函數f(x)在[a,b]上R可積的充分必要條件是：對任意給定的兩個正數ε＞0及σ＞0，可找到δ＞0，使得當任一分法滿足λ(Δ)＜δ時，對應于振幅ωi'≥ε的那些區間Δxi'的長度之和∑Δxi'＜σ。

推論2 有界函數f(x)在[a,b]上R可積i'的充分必要條件是：對任意給定的兩個正數ε＞0及σ＞0，存在一分法Δ，對應于振幅ωi'≥ε的那些區間Δxi'的長度之和Δxi'＜σ。

（2）這兩個充要條件之間有何內在聯系？

（3）如何應用這兩個充要條件討論函數的可積性？

證明所有ωi一致小于ε，如連續函數可積性的證明；

推論3：若f(x)在[a,b]上連續，則對?ε＞0,總可在[a,b]上插入若干分點，使得f(x)在每個小區間上的幅度ωi＜ε。

證明n所有Δxi一致小于ε，如單調有界函數的可積性的證明；

將∑i=1ωiΔxi分成兩部分，一部分ωi能一致小于ε，另一部分雖然ωi不能一致小于ε，但其區間長度的和能一致地小于σ，如只有有限個不連續點的有界函數的可積性的證明。

推論4：若f(x)在[a,b]上R可積，且積分值為I，又f?(x)是f(x)在有限個點改變函數值后得到的函數，則f?(x)在[a,b]上也R可積，且積分值仍為I。

2．改變教材的呈現方式，將命題分解為若干個前后呼應，環環相扣的小問題，把教材冰冷的美麗變為學生火熱的思考。

例。定義Riemann函數

證明：

（1）對ε＞0，在任意有限區間[a,b]上使f(x)≥ε的點x只有有限多個。

（2）f(x)在任意一點的極限都為0。

（3）f(x)在所有無理點處連續，有理點處不連續。

（4）f(x)在任意有限區間[a,b]上都R可積，且積分值為0。

（5）f(x)沒有原函數，從而R可積函數不一定有原函數。

3．巧妙設問，層層深化，引導學生深入思考，領略積分世界的新天地。

接上文，問：什么樣的函數會沒有原函數呢？

（6）含有第一類間斷點的函數一定沒有原函數。問：知道了f(x)的原函數是F(x)之后，

引導學生發現：上式左邊積分不一定存在。這是因為

（7）有原函數的函數不一定R可積。

從而f(x)在含有0的區間[a,b]上無界，從而在[a,b]上不R可積。

問：我們知道含有第一類間斷點的函數一定沒有原函數，那么含有第二類間斷點的函數是不是也一定沒有原函數呢？

引導學生發現，由上例可知：

（8）含有第二類間斷點的函數可以有原函數。

引導學生發現，此時不能套用牛頓-萊布尼茲公式，因為牛頓-萊布尼茲公式的條件是f(x)連續，但是牛頓-萊布尼茲公式可以推廣為：

（9）若f(x)有原函數F(x)，且在[a,b]上R可積，

問：什么樣的函數既有原函數又R可積呢？

問：只有有限個間斷點的有界函數是R可積的，那么有無限個間斷點的有界函數R可積嗎？

引導學生由Riemann函數和Dirichlet函數不難發現：

（11）在[a,b]上有無限個間斷點的有界函數可能R可積，也可能不R可積。

問：在[a,b]上有無限個間斷點的有界函數在什么條件下會一定R可積呢？

（12）若在[a,b]上的有界函數有無窮多個間斷點，但這無窮多個間斷點只有唯一的聚點，則該函數在[a,b]上R可積。

問：若在[a,b]上的有界函數有無窮多個間斷點，但這無窮多個間斷點有有限個聚點，則該函數在[a,b]上R可積嗎？

引導學生發現，由積分的區間可加性可知：

（13）若在[a,b]上的有界函數有無窮多個間斷點，但這無窮多個間斷點只有有限個聚點，則該函數在[a,b]上R可積。

問：若在[a,b]上的有界函數有無窮多個間斷點，但這無窮多個間斷點有無窮個聚點，則該函數在[a,b]上R可積嗎？

引導學生由Riemann函數和Dirichlet函數可知

（14）若在[a,b]上的有界函數有無窮多個間斷點，但這無窮多個間斷點有無窮個聚點，則該函數在[a,b]上未必R可積。

4．引導學生對以上有關結論給出嚴格證明。證明追求嚴謹，但不拒絕形象直觀。結合圖形闡述有關證明思路，從而使推理深入淺出。

5．構造具體實例，幫助學生理解上述相關結論。

例 判斷下列函數在[0,1]上是否R可積。

在引導學生思考“從間斷點的多少的角度看，在[a,b]上的有界函數R可積有何充要條件？”的問題時，可告訴學生：實變函數理論告訴我們

6．適當拓展，激發學生的求知欲。

設f(x)在[a,b]有界，則f(x)在[a,b]上R可積的充要條件是f(x)在[a,b]幾乎處處連續，即f(x)在[a,b]的間斷點構成零測度集，形象地說，其間斷點不“很多”。

又如：Dirichlet函數在[a,b]上不R可積，但改變積分的定義方式，如在勒貝格積分的意義下它又是可積的，此時稱L可積。

結語

從Riemann函數的幾個常用結論出發，精心設計了一系列環環相扣的問題情境，引導學生始終處于問題的探索與求真的過程中，證明與反例相結合，幫助學生厘清了一此似是而非的錯誤理解，將對定積分的理解上升到一個新的高度。更重要的是，學生在積極參與知識的探索過程中培養了發現問題、提出問題的可貴的科學品質和創新精神。