“數(shù)”“形”結(jié)合在高中數(shù)學(xué)幾何解題中的應(yīng)用策略

（山東省泰安一中新校 山東泰安 271000）

高中數(shù)學(xué)是一門非常重要的學(xué)科，對幫助我們形成數(shù)學(xué)思維，提升數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識具有非常重要的意義，作為學(xué)生我們必須加強(qiáng)對個(gè)人知識信息的儲備，以便形成具有較高價(jià)值的新設(shè)想和新發(fā)現(xiàn)。幾何題是數(shù)學(xué)課程中非常重要的知識點(diǎn)，對我們今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有著非常大的影響，尤其是在知識結(jié)構(gòu)體系構(gòu)建中發(fā)揮著承上啟下的關(guān)鍵作用，因此，掌握幾何解題技巧是學(xué)習(xí)的關(guān)鍵[1]。由于幾何題本身較為抽象，一直以來都是我們學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，但將抽象的幾何問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的幾何圖形求解就會使得復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，把抽象的數(shù)學(xué)語言和直觀的圖形結(jié)合起來，就是“數(shù)”“形”結(jié)合法。“數(shù)”、“形”結(jié)合解題法是幾何解題的一種重要方法，其能夠以較為簡單、直觀的方式實(shí)現(xiàn)對幾何題的轉(zhuǎn)換，更好的幫助我們掌握幾何知識點(diǎn)，把握解題要點(diǎn)。

一、解題思路

在數(shù)學(xué)幾何題解析過程中，關(guān)鍵是要明確問題與條件之間的位置、數(shù)量關(guān)系，將“數(shù)”與“形”相互對應(yīng)起來，即可迅速把握解題的關(guān)鍵點(diǎn)。在熟練掌握數(shù)形結(jié)合解題方法之后，就能夠更好的實(shí)現(xiàn)舉一反三，從而更好的應(yīng)對幾何題。而在對“數(shù)”、“形”結(jié)合解題法運(yùn)用時(shí)，應(yīng)當(dāng)把握其具體的解題思路，分別為：（1）三角函數(shù)、復(fù)數(shù)等均基于幾何元素和條件的基礎(chǔ)上來進(jìn)行背景的構(gòu)建；（2）題目所給出的代數(shù)方程式或者等式的結(jié)構(gòu)中具有所包含的較為明確的幾何意義；（3）圖象與函數(shù)所對應(yīng)的關(guān)系；（4）曲線與方程之間對應(yīng)的關(guān)系；（5）數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)之間所對應(yīng)的關(guān)系[2]。

二、幾何題型解題中“數(shù)”“形”結(jié)合的應(yīng)用策略

1.“數(shù)”“形”結(jié)合在幾何不等式問題解題中的應(yīng)用

例題1：解不等式：√（16-x2）+√（8x-x2）>4。

解析：通過將上述不等式進(jìn)行變形處理，即可獲得√（16-x2）>4-√（8x-x2）這樣一個(gè)公式，而該公式與上述不等式是等價(jià)的。

另設(shè)：y1=√（16-x2），設(shè)y2=4-√（8x-x2），對上述等式進(jìn)行變形，即可獲得如下曲線方程：x2+y12=16（4≧y1≧0）以及（x-4）2-（y2-4）2=16（y2≦4）；

通過對上述兩個(gè)曲線方程進(jìn)行繪圖觀察，其均屬于半圓，通過直角坐標(biāo)即可表示出來：

圖1

例題1

根據(jù)圖1來看，兩個(gè)半圓之間相互交集的部位，就是本題的不等式解集，即可獲得結(jié)果，{x｜0＜x＜4}。

幾何不等式是較常見的幾何題型，也是高考中的常考題型。對于幾何不等式，在解題過程中，首先是將其化解為某個(gè)曲線方程，再根據(jù)該曲線方程來進(jìn)行圖形繪制，將其在數(shù)軸上表示出來，需要引起注意的是，在進(jìn)行計(jì)算過程中，必須明確定義域和值域，再通過幾個(gè)圖像的交集情況即可獲得不等式的解集。

2.“數(shù)”“形”結(jié)合在幾何圓類問題中的應(yīng)用

例題2：已知直線kx-y-2=0與曲線 √〔1-（y-1）2〕=x-1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。

解析：根據(jù)直線kx-y-2=0可化成y=kx-2，可知它是經(jīng)過點(diǎn)（0，-2），斜率變化的直線。

通過對曲線√〔1-（y-1）2〕=x-1進(jìn)行變形處理，可得（x-1）2+（y-1）2=1（x≥1）（0≤y≤2），此時(shí)可知該曲線是以（1，1）作為圓心，以1作為半徑的位于直線x=1右側(cè)部分的半圓。

設(shè)直線繞過點(diǎn)（0，-2），并通過順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至與圓下方相切時(shí)的斜率為k1；直線過點(diǎn)（0，-2）和（1，0）與圓有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)的斜率為k2。可得當(dāng)直線kx-y-2=0與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，斜率k滿足k1＜k≤k2。

由圓心（1，1）到直線kx-y-2=0的距離d=|k-1-2|/√（1+k2）=1，解得k1=4/3，

通過點(diǎn)斜式方法可解得k2=（-2-0）/（0-1）=2，由此可得4/3＜k≤2。

圖2

例題2

通過上述例題來看，在對幾何圓類問題解題過程中，通過“數(shù)”、“形”結(jié)合解題法的合理運(yùn)用，能夠促使解題思路更加明確，題型得以簡化。對圓類問題的解答，其解題的關(guān)鍵是密切圍繞圓與直線的位置關(guān)系、圓與圓之間的位置關(guān)系、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程等各項(xiàng)問題來實(shí)現(xiàn)。例如：在對直線和圓的位置關(guān)系進(jìn)行判斷的過程中，對直角坐標(biāo)系進(jìn)行建立，便能夠更為直觀的了解到在圓外直線的表現(xiàn)，通過對圓心到直線的距離進(jìn)行計(jì)算，若距離大于圓的半徑，即表示直線處于圓外，這種方法是“數(shù)”、“形”結(jié)合解題法解答圓類問題最基本的、最常用的方法。

結(jié)語

總而言之，幾何題型是高考必考內(nèi)容，并且在所有題型中占據(jù)了較高的比例，盡管幾何題型的難度相較于函數(shù)題型比例較低，但仍然是高中數(shù)學(xué)解題的難題，這主要是由于其本身較為抽象所導(dǎo)致的，但把握一定的技巧，即可快速熟練的實(shí)現(xiàn)幾何題型的解答。“數(shù)”、“形”結(jié)合解題法的運(yùn)用，能夠促使題目給定的條件得以呈現(xiàn)和對應(yīng)，使得解題時(shí)間得以縮短，且不容易出現(xiàn)漏題的情況，可更好的實(shí)現(xiàn)對答題效率和答題準(zhǔn)確率的提升。