用仿射變換解決高考中解析幾何問題研究

（吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué) 吉林長(zhǎng)春 130021）

解析幾何在高考中有著重要的地位，其中，與橢圓有關(guān)的問題出現(xiàn)頻率很高。在人教版選修4-2矩陣與變換中詳細(xì)介紹了仿射變換，但在實(shí)際教學(xué)中，這部分內(nèi)容往往被孤立起來，沒有與其他知識(shí)形成體系。如果將此部分知識(shí)運(yùn)用到解析幾何的解題中，可以通過仿射變換將橢圓變換成圓，再將與圓有關(guān)的性質(zhì)應(yīng)用到橢圓上，從而另辟蹊徑，使得問題解決起來得心應(yīng)手。

一、仿射變換的概念

仿射變換，又稱仿射映射，是指在幾何中，一個(gè)向量空間進(jìn)行一次線性變換并接上一個(gè) 平移，變?yōu)榱硪粋€(gè)向量空間。

對(duì)一個(gè)向量?平移，與旋轉(zhuǎn)放大縮小A的仿射映射為

在人教版選修4-2《矩陣與變換》中，開篇介紹了幾類特殊線性變換及其二階矩陣。其中包括：旋轉(zhuǎn)變換、反射變換、伸縮變換、投影變換和切變變換。

本文將兩題為例將以上幾種特殊的仿射變換應(yīng)用到與橢圓有關(guān)的解析幾何的問題中，從而回避繁雜的計(jì)算，降低解題難度。

二、仿射變換的性質(zhì)

不難證明，仿射變換具有以下性質(zhì)：

性質(zhì)一 仿射變換前直線與曲線相切（相交、相離），仿射變換后直線與曲線依然相切（相交、相離）。

性質(zhì)二 仿射變換前直線與直線平行（相交、重合），伸縮變換后直線與直線依然平行（相交、重合）。

性質(zhì)三 A ， B ，C 三點(diǎn)在仿射變換下的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A′ ，B′ ，C′ ，若A ， B ，C 也三點(diǎn)共線，則A′ ， B′ ，C′ 三點(diǎn)也共線，且對(duì)應(yīng)線段的比值不變，即

滿足關(guān)系：

滿足關(guān)系：S′=k1k2S。

三、利用仿射變換解決解析幾何中的問題

例1。過橢圓

分析：本題要求證明三條相互平行的線段的比例關(guān)系，則考慮運(yùn)用仿射變換，利用初中所學(xué)習(xí)的圓與三角形相似的知識(shí)解決。

解：（I）略

（Ⅱ）存在m=滿足條件

又由PQ⊥PH，得kHP?kPQ=-1，由性質(zhì)五易得m=。

從仿射變換的性質(zhì)上來看，我們的目的是將一般的幾何圖形變換為具有一定特殊性質(zhì)的圖形（例如將橢圓變換成圓，將一般三角形變換成正三角形，將平行四邊形變換為正方形），根據(jù)其特殊性質(zhì)來進(jìn)行求解。對(duì)于數(shù)學(xué)素養(yǎng)較高，數(shù)學(xué)能力較強(qiáng)的學(xué)生，接受起來還是比較容易的。又因?yàn)榇祟悓W(xué)生很有可能參加數(shù)學(xué)聯(lián)賽、自主招生等選拔考試，運(yùn)用仿射變換解決相應(yīng)題目，可以提高學(xué)生的解題能力。