“細胞增殖”教學中的數學模型應用舉例

陳廷華

(江蘇省無錫市輔仁高級中學 無錫 214123)

“細胞增殖”內容是高中生物學課程中學生理解生命本質、進行科學思維、形成生命觀念的重要版塊，無論是新課教學還是專題復習，都有許多繞不開的教學難點，不僅是知識內容本身微觀抽象，概念名詞多，現象特征復雜，而且要在動態的變化過程中理解染色體、染色單體、著絲點等概念的相互關系及物質的數量變化規律，需要經歷抽象、概括、判斷、推理等復雜思維過程。所以機械的識記不可能理解生命規律的本質，對枯燥的數字必然是記不牢、記不長、記不清，學生感到難學。有效地組織學生綜合運用分析與比較、歸納與概括、演繹與推理、模型與建模等方法進行科學的理性思維，闡釋生命現象及規律，可以化被動為主動。物質的數量變化的最佳闡釋是數學模型，如何巧妙建構、變換和使用數學模型，如何將數學模型用在當用之處，以達到最佳教學效果？現通過幾個教學實例加以闡述。

1 利用數學模型的推演，認識細胞增殖的生物學意義

多細胞生物體體積的增大，既靠細胞的生長增大細胞的體積，還要靠細胞分裂增加細胞數量，這是因為細胞不能無限長大。細胞為什么不能無限長大？人教版必修1教材提供了一個模擬探究實驗，探討細胞大小與物質運輸的關系。實驗原理和操作過程比較簡單，但是對實驗現象的討論及規律的認識卻有相當的思維力度，需要進行數學模型的推演，并要用聯想把推演的結果遷移到細胞中，認識物質運輸的效率與細胞大小的關系。教學程序包括： ①學生按教材實驗步驟完成實驗操作；②將實驗現象填入表格；③引導學生根據實驗數據思考討論，循序漸進進行數學推演。瓊脂塊邊長越大(瓊脂塊越大)，表面積、體積、表面積/體積如何變化？→瓊脂塊越大，NaOH擴散深度、NaOH擴散體積/瓊脂塊體積如何變化？→瓊脂塊越大，NaOH擴散速度、NaOH擴散效率如何變化？為什么？(提示： NaOH擴散速度、NaOH擴散效率分別用什么指標表示？)→NaOH擴散效率與表面積/體積之間呈何相關？(提示： 表面積/體積與NaOH擴散體積/瓊脂塊體積之間呈何相關？)→總結： 瓊脂塊大小與表面積/體積、NaOH擴散效率之間有何關系？→大多數高等動植物細胞的直徑為20～30μm，請計算細胞的直徑分別為20μm和30μm的細胞表面積/體積？→如果把瓊脂塊換成高等動、植物細胞，則物質運輸的效率與細胞大小之間是什么關系？→請推測： 多細胞生物體內細胞具有怎樣的生命歷程？

學生通過推演，自己得出了結論： 細胞越大，細胞表面積/體積越小，物質運輸的效率越低，所以，當體細胞生長到一定大小時，要么進行細胞增殖，要么走向分化、衰老、凋亡等，這是生命規律的必然，也是生命的高效性、結構與功能的統一性等生命觀念的體現。有些教師想當然認為該結論比較簡單，不需要做實驗，更不必做復雜的數學推演，直接把結論告訴學生。這種做法是不合適的，沒有動手實驗，就缺少感性認識，就缺少生物學概念的形成和觀念的建立的根本途徑；沒有分析探究的過程，就失去了一次較好的科學思維訓練，都不利于激發學生后續學習的興趣。

2 緊扣數學模型轉折點的含義，辨析細胞分裂各時期

用坐標曲線圖表示細胞分裂各時期物質的動態變化過程簡單而直觀，但是簡單的曲線所代表的生物學含義并不簡單，讓學生借助簡單的數學模型深刻理解細胞分裂各時期生物學含義是教學的重要目標，也是教學的難點。怎樣才能讓數學模型蘊含的生物學含義“顯而易見”呢？教學實踐表明，緊扣坐標曲線轉折點的含義，引導學生學習和思維，可以化難為簡，突出重點。

以細胞分裂過程中染色體數目的變化教學為例，示例如下： ①列出有絲分裂過程中各時期染色體數目(以體細胞染色體數2N為例)；②畫出有絲分裂各時期細胞中染色體數量變化曲線(圖1)；③分析重要的轉折點D→E、 F→G、 H→Ⅰ代表的生物學含義分別是什么？④據圖2分析減數分裂各時期細胞中重要轉折點F→G、 I→H、 L→M的生物學含義？⑤分析圖1中D→E與圖2中I→H有何共同點？⑥分析圖1中H→Ⅰ與圖2中F→G的變化有何本質不同？⑦分析圖1和圖2各段分別代表什么時期？

通過對曲線轉折點、關鍵階段的分析，進行綜合比較、判斷、推理，學生能深刻理解細胞分裂的重要時期的生物學變化，即有絲分裂后期和減數第二次分裂后期著絲點分裂，姐妹染色單體分開，染色體加倍(相對于前一時期)，減數第一次分裂同源染色體分離并平均分配給2個子細胞導致染色體數目減半。抓住了關鍵階段，抓住了重點，突出了本質，再去辨析其他各時期就輕松自如了。

圖1 有絲分裂各時期細胞內染色體數目的變化

圖2 減數分裂各時期細胞內染色體數目的變化

參照此法，分析細胞分裂各時期核DNA數量的變化，無需死記硬背，同樣可以做到心知肚明，一目了然。

3 變換數學模型的坐標含義，理解重要概念的相互關系

細胞分裂過程中，染色體、染色單體、核DNA的數量關系是不斷變化的，1個染色體上可能是2個DNA，也可能是1個DNA，關鍵是染色體上是否存在染色單體，本質上涉及到染色體的復制和著絲點分裂2個重要過程，如何在動態的變化過程中理解概念間的相互關系？筆者經驗是： 可以對同一物質從不同的角度變換數學模型的坐標含義，進行反復比較，對比分析坐標曲線的異同，從而明確概念間的本質聯系。例如對核DNA，可以從“細胞中核DNA數”“每條染色體上的DNA數”“染色體與核DNA比值”“有絲分裂中的DNA數”“減數分裂中的DNA數”等不同角度構建數學模型，分析比較。教學程序包括： ①畫出有絲分裂過程中每條染色體上DNA的含量變化曲線(圖3)；②根據有絲分裂過程中每條染色體上DNA含量變化曲線分析ab和cd的含義；③如果縱坐標表示有絲分裂染色體與核DNA的比值，畫出變化曲線(圖4)，分析ab和cd的含義；④橫坐標表示有絲分裂各時期，則圖3和圖4的bc、 de分別代表哪些時期？如果橫坐標表示減數分裂各時期，則bc、 de分別代表哪些時期？(易錯點： bc可表示減數分裂第一次分裂和減數第二次分裂的前期和中期，往往易忽略減數第一次分裂)⑤如果圖3縱坐標表示細胞有絲分裂核DNA含量變化，則bc、 de分別代表哪些時期？(易混淆： 與細胞中每條染色體上的DNA的數量變化混淆，因為數學模型相同，但表示的時期不完全相同)通過坐標含義的不斷變換，讓學生畫圖分析，引導學生舉一反三、由淺入深、由表及里去認識細胞分裂的實質： 染色體上DNA經過復制后，DNA加倍，隨著著絲點的分裂，姐妹染色單體分開，加倍的DNA最終可以平均分配給2個子細胞。

圖3 細胞分裂各時期每條染色體DNA含量

圖4 細胞分裂各時期染色體與核DNA比值

同時通過模型含義的變換，構建數學模型，分清易錯易混淆的知識，學生學得輕松，有滿滿的成就感。

4 利用數學模型的形式轉換，掌握細胞分裂過程中物質數量變化規律

數學模型有數學方程式、曲線圖、柱狀圖等多種形式，各有其優點和不足。例如，在同一坐標系下畫出染色體、核DNA、姐妹染色單體的數量變化曲線，能夠反應相關物質的連續的、動態的變化過程，同時便于分析比較一些關鍵階段的染色體變化，但是在比較物質變化所對應的時期時，則反而顯得凌亂，如果換成柱狀圖(圖5，以有絲分裂為例)，則更能直觀地看出有絲分裂過程中核DNA何時加倍，為什么加倍？染色體何時加倍，為什么加倍？染色體、核DNA何時減半，為什么減半？染色單體和核DNA之間的數量關系？

圖5 有絲分裂過程中染色體、核DNA、染色單體變化

熟練運用合適的數學模型闡述生命現象和規律是科學思維能力的重要體現，在“細胞增殖”的教學中，要充分利用好細胞分裂圖像、曲線圖、柱狀圖等多種形式進行信息轉換，再現重要概念，讓學生分析表述，判斷推理，培養學生綜合思維能力。

教學示例如下： 下列是科研人員對某動物(2n)細胞有絲分裂和減數分裂過程中染色體形態、數目和分布的觀察分析結果，其中圖6為其細胞分裂一個時期的示意圖(僅示部分染色體)，圖7是依據不同時期細胞中染色體數和核DNA分子數的數量關系而劃分的細胞類型，圖8是細胞分裂過程中染色體數目變化。

圖6 細胞分裂某時期

圖7 細胞類型

圖8 細胞分裂中染色體的數目變化

教師可以分四步引導學生進行分析、判斷、推理。

第一步： 逐一分析圖形、曲線、柱狀圖的重要特征，認識細胞分裂各時期。

重要特征分析： 圖7——著絲點分裂，代表何時期？圖8——柱狀圖染色體與核DNA的二種數量關系分別對應哪些時期？圖8——轉折點(時段)②、④、⑥的生物學含義？

分析解答問題： 圖7中細胞分裂的方式和時期是有絲分裂后期，它屬于圖8中類型為a的細胞。若某細胞屬于類型c，取自精巢，沒有同源染色體，那么該細胞的名稱是次級精母細胞。

第二步： 重點分析圖8中染色體與核DNA的數量關系，理解數量變化規律。

a——著絲點分裂，染色單體分開，染色體數=核DNA數=4n，為有絲分裂后期；c——著絲點分裂，染色單體分開，染色體數=核DNA數=2n，為MⅡ后期；b和d都有染色單體，但染色體數量不同，b表示有絲分裂前期、中期或MⅠ，d則表示MⅡ前期、中期。

分析解答問題： 若類型b、 c、 d、 e的細胞屬于同一次減數分裂，那么三者出現的先后順序是b、 d、 c、 e。

第三步： 在圖文與模型轉換中再現重要概念，如同源染色體等。

由于圖8的b表示有絲分裂前期、中期或減數第一次分裂，c、 d、 e表示MⅡ相應時期，所以在圖8的5種細胞類型中，一定具有同源染色體的細胞類型有a、 b。

第四步： 綜合分析圖形、柱狀圖與曲線圖的含義，緊扣物質數量變化，進行意義關聯，歸納判斷。

著絲點分裂導致圖8中一種細胞類型轉變為另一種細胞類型，其轉變的具體情況有b→a、 d→c(用圖中字母表述)，分別對應于圖8中的②、⑥(用圖中序號表示)。

實踐表明： 有效地利用數學模型進行“細胞增殖”內容的教學，可以實現難點不再難，重點更突出，學生學得輕松，學得有效。