空間中點到直線距離的幾種求法

王茗 李媛媛

摘 要：當我們在解決空間中點到直線距離的題目時，我們通常會套用文獻[1]的公式，但是一旦出題者變換出題方式時，我們便不知所措。首先我將此類問題轉化為求兩點間的距離，然后我利用直線與平面的位置關系、兩點間的距離公式、兩條直線的位置關系的知識來解決此類問題，為我們解決此類問題增加了途徑，使我們做題時思維變得更加靈活。

關鍵詞：垂直;距離;方向向量;法向量

1 引言

在空間中，點到直線的距離又非常重要的理論意義與應用價值，因此許多文獻對此問題進行了探討。如文獻[1]

給出了一個計算空間中點到直線的距離公式，還有其他的文獻利用平面束來解決相關問題。本文我將利用我們很熟悉的數學知識來解決此類問題，比如兩點間的距離最小問題、兩直線垂直、平面與直線的位置關系，依據這些知識系統地總結了解決空間中點到直線距離的三種算法，并且結合。

2點到直線求解方法

例題 求點M0（2，3，-1）到直線L：2x-2y+z+3=0，3x-2y+2z+17=0的距離。

解：先將直線L化為標準式方程。因為直線L是兩個平面相交所得，所以可以用兩個平面的法向量做叉乘得到直線l的方向向量;然后求過直線l的一點，這樣就可以寫出直線L的標準式方程。

平面2x-2y+Z+3=0的法向量記為a，a={2，-2，1};平面3x-2y+2z+17=0的法向量記為b， b={3，-2，2};a×b=-2i-j+2k，所以直線L的方向向量v={-2，-1，2}，因為點M（1，-5，-15）滿足兩個平面的方程，所以點M在直線上，那么可得直線l的標準式方程x-1-2=y+5-1=z+152。

解法一

造一個平面π，使得此平面的法向量就是所給直線l的方向向量，并且平面π過點M0，直線l交平面π于M1一點。如圖所示。

那么將法向量和點M0代入平面的一般方程Ax+By+Cz+D=0可求出平面π的方程為2x+y-2z-9=0，將直線L的標準式方程化為參數方程x=1-2t，y=-5-t，z=2t-15，因為點M1在直線L上，所以滿足參數方程。那么M1（1-2t，-5-t，2t-15），因為點M1又在平面π上，所以滿足平面π的方程。將點代入方程，可求得t=2，那么點M1的坐標為（-3，-7，-11），因此點M0線L的距離就是點M0和點M1之間的距離，運用兩點間的距離公式可求得d=15。

解法二

此題可以通過點M0向直線l作垂線，交直線l于點M3。如圖所式。

將直線L的標準式方程化為參數方程x=1-2t，y=-5-t，z=2t-15，因為點M3在直線L上，所以點M3的坐標為（1-2t，-5-t，2t-15）。那么向量M0M3={1-2t，-5-t，2t-15}

直線L的方向向量v={-2，-1，2}，因為M0M3與L垂直所以M0M3，與v點乘為零，利用這個公式求出t=2，那么點M0到直線L距離就是點M0和點M3之間的距離，利用兩點間的距離公式可求出d=15。

3結束語

由上述例題可知，解法一采用構造平面的方法使問題變得更加直觀，雖然涉及的知識面較廣泛，計算量大，但是做題思路很流暢;解法三也是轉換了解題思維，通過已知點向直線作垂線，交直線與另外一點，那么點到直線的距離就是這兩點間的距離，再利用兩點所形成的向量與直線的方向向量垂直，點乘為零，就可以求出此點，用到的方法和知識十分容易理解，解題過程很清晰。所以具體問題具體分析，選擇最合適的方法進行運算。

[參考文獻]

[1]呂林根，許子道.解析幾何（第四版）[M].北京：高等教育出版社.2006.5.

[2]姜乃斌，代萬基.高等數學習題全解全析[M].大連：大連理工大學出版社，2004.

[3]楊開春，張富林，趙臨龍.高等數學[M].西安：陜西人民出版社，2003.

（江漢大學 數學與應用數學系，湖北 武漢 430056）