基于Markov鏈修正的鐵路運量灰色組合預(yù)測模型研究

賈鼎元,柴乃杰,王恩茂

(蘭州交通大學(xué)土木工程學(xué)院,蘭州 730070)

伴隨著社會經(jīng)濟學(xué)理論、數(shù)學(xué)分析方法以及計算工具的不斷完善和提高，人們對經(jīng)濟預(yù)測準(zhǔn)確性的要求和需要也越來越高[1]。目前傳統(tǒng)預(yù)測手段主要分為定性預(yù)測與定量預(yù)測兩大類[2-3]。定性預(yù)測包括：市場調(diào)查法、類比法和專家調(diào)查法。定量預(yù)測方法按形成成因，大致可分為以因果關(guān)系和以時間序列為參數(shù)的2種預(yù)測方法，根據(jù)現(xiàn)有情況的需要，以時間序列為參數(shù)的預(yù)測方法的研究占絕大多數(shù)。基于時間參數(shù)的預(yù)測方法是將近年來實際客運量數(shù)據(jù)按照時間的順序排列，通過對其反復(fù)訓(xùn)練與擬合，建立具有一定規(guī)律性的數(shù)學(xué)模型，并向外進行推算。目前比較有代表性的指數(shù)平滑法、線性回歸法、灰色預(yù)測法、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以及支持向量機等[4-9]，這些方法在本質(zhì)上都是建立在原始數(shù)據(jù)的擬合模型，通過模型本身的反復(fù)訓(xùn)練，最大限度地提高自身的擬合精度。然而，以上這些方法各自也都或多或少地存在局限性，而且每一種模型都有不同的適用范圍。所以，僅有彌補原單一模型自身的缺陷，才能取得更加精確的預(yù)測結(jié)果，否則仍然無法保證所得預(yù)測結(jié)果的準(zhǔn)確性。

鐵路客運量是一個受社會、經(jīng)濟等多種因素影響的復(fù)雜系統(tǒng)[10-11]。而傳統(tǒng)的單一客運量預(yù)測模型由于自身缺陷與應(yīng)用的局限性，已越來越無法適應(yīng)復(fù)雜的客運量預(yù)測系統(tǒng)。因此，為了彌補原單一預(yù)測模型的不足，本文將引入灰色GM(1，1)[12]與灰色Verhulst[13]組合模型，這使得預(yù)測對象必須首先滿足以下基本兩點：(1)數(shù)據(jù)要求滿足屬于灰色系統(tǒng)范疇，多為離散時間序列；(2)要求數(shù)據(jù)無后效性。為能使這兩種模型進行有機地集成，以達到有效地提高預(yù)測精度的目的，故采用信息熵中的熵權(quán)法。熵權(quán)法一方面可以充分地利用相對誤差數(shù)據(jù)本身的效用值，另一方面還可有效地減少專家主觀因素的影響。最后，運用Markov鏈方法對熵權(quán)法灰色組合預(yù)測模型的擬合值進行修正，使之能夠?qū)㈩A(yù)測結(jié)果由單一數(shù)值修正成為預(yù)測年份的客運量區(qū)間，而且還可以有效估算出該區(qū)間產(chǎn)生的概率情況，增加了預(yù)測的可信度。

1 熵權(quán)法灰色組合模型的基本思路

1.1 灰色GM(1，1)模型的基本思路

灰色預(yù)測模型的基本思路是將部分已知的數(shù)據(jù)序列通過訓(xùn)練、擬合，尋找出一種具有某種規(guī)律的動態(tài)化數(shù)學(xué)函數(shù)。然后按照某種準(zhǔn)則，反復(fù)修正提高白化度，直到達到期望的預(yù)測效果為止。其基礎(chǔ)是建立模型，通常為一階單變量模型GM(1，1)和一階多變量模型GM(1，N)[14]。尤其是GM(1，1)模型，應(yīng)用十分廣泛。

GM(1，1)模型是一階單變量線性微分方程，其離散形式為

(1)

式中，a、u為待識別的灰色參數(shù)。

計算式(1)中一階單變量的線性微分方程的解，即為

(2)

其中

(3)

(4)

式中，k=2，3，…，n。

以上為GM(1，1)模型的基本公式和思路，其中稱式(4)為GM(1，1)模型的基本結(jié)論。

1.2 灰色Verhulst模型的基本思路

設(shè)X(0)為原始數(shù)據(jù)序列，X(1)為X(0)的一次累加生成1-AGO序列，即

X(0)=(x(0)(1)，x(0)(2)，…x(0)(k)，…，x(0)(n))

(5)

X(1)=(x(1)(1)，x(1)(2)，…x(1)(k)…，x(1)(n))

(6)

Z(1)為X(1)的緊鄰均值生成序列，即

Z(1)=(z(1)(1)，z(1)(2)，z(1)(3)，…，z(1)(n))

(7)

其中，Z(1)(1)=X(1)(1)

則稱式：

x(0)(k)+az(1)(k)=b(z(1)(k))α

(8)

為GM(1，1，α)冪模型[15]。

將式(8)進一步轉(zhuǎn)化為

(9)

稱為GM(1，1，α)冪模型的白化方程。

求得式(9)中GM(1，1，α)冪模型白化方程的解為：

(10)

當(dāng)α=2時，則稱式

x(0)(k)+az(1)(k)=b(z(1)(k))2

(11)

為灰色Verhulst模型。

稱式：

(12)

為灰色Verhulst模型的微分方程。

對于式(12)中灰色Verhulst微分方程的解為

(13)

故離散型灰色Verhulst模型的預(yù)測模型為

(14)

1.3 組合預(yù)測模型

(15)

1.4 熵權(quán)法組合預(yù)測模型權(quán)系數(shù)的確定

組合預(yù)測是指通過合理的權(quán)系數(shù)將各種單一預(yù)測方法進行集成，以期望獲得更加準(zhǔn)確的預(yù)測結(jié)果，但目前最主要的問題就是如何求得恰當(dāng)?shù)臋?quán)系數(shù)。通過分析，本文將借助信息熵理論[17-18]，根據(jù)不同預(yù)測方法相對誤差的變異程度，確定組合預(yù)測中的各單一模型的權(quán)系數(shù)。

(1)設(shè)第t時刻的第i種預(yù)測方法相對誤差為

(16)

(2)對預(yù)測相對誤差進行歸一化處理，即

(3)計算第i種預(yù)測方法的熵值Hi

(18)

因此，對第i種預(yù)測方法而言，如果fit全部相等，即fit=1/n，t=1，2，…，n。那么Hi取得極大值1，則有0≤Hi≤1。

(3)計算第i種預(yù)測方法的變異程度系數(shù)

vi=1-Hi，i=1，2，…，m

(19)

(4)確定第i種預(yù)測方法的權(quán)系數(shù)

(20)

(5)建立組合預(yù)測模型

(21)

1.5 Markov鏈方法對預(yù)測結(jié)果修正的基本思路

由于灰色組合模型的預(yù)測結(jié)果通常是一個單一的粗糙數(shù)值，這就容易產(chǎn)生較大的誤差。為了減少誤差，將組合模型的預(yù)測值拓展到一個較小的范圍之內(nèi)，故利用Markov鏈方法對灰色組合預(yù)測模型結(jié)果的修正，即將預(yù)測的結(jié)果由一個單一的數(shù)值修正成為預(yù)測年份的客運量區(qū)間，同時估算出該區(qū)間產(chǎn)生的概率情況[19-20]。

Markov鏈方法的核心環(huán)節(jié)是求得原始數(shù)據(jù)序列的一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。即設(shè)樣本中狀態(tài)Si出現(xiàn)的mi次，由狀態(tài)Si轉(zhuǎn)移到狀態(tài)Sj的次數(shù)為mij，則一步轉(zhuǎn)移概率的近似值為

Pij=mij/mi

(22)

式中，Pij為由Markov鏈狀態(tài)Si轉(zhuǎn)移到狀態(tài)Sj的概率。

(23)

綜上，構(gòu)造一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣形式為

(24)

針對熵權(quán)法組合模型所得到的預(yù)測結(jié)果，可通過式(22)～式(24) Markov鏈方法，獲得該組合模型在已知年份的偏差規(guī)律，以此對所得預(yù)測結(jié)果進行修正，即由一個單一的粗糙預(yù)測數(shù)值修正成為區(qū)間和概率組成的預(yù)測范圍，從而增加了預(yù)測的可信性。

2 實例分析

為驗證基于Markov鏈修正的一種灰色組合預(yù)測模型應(yīng)用的有效性和可靠性，以2004年～2015年甘肅省鐵路客運量為例進行實證預(yù)測，如表1所示。

表1 2004年～2015年甘肅省鐵路實際客運量及符號

2.1 GM(1，1)預(yù)測

以表1中所選取的2004年～2015年共12年的甘肅省鐵路客運量原始數(shù)據(jù)為數(shù)據(jù)，并作符號標(biāo)記。分別采用灰色GM(1，1)模型和灰色Verhulst對其進行擬合，具體擬合過程如下。

根據(jù)表(1)及式(1)、式(2)的GM(1，1)模型基本思路和公式，可得

B=

由此得到a=-0.079 4，u=1 239.768，所以u/a=-15 614.206 6。進一步計算得到甘肅省2004年～2015鐵路客運量的灰色GM(1，1)預(yù)測式

同理，根據(jù)式(5)～式(14)得到甘肅省2004年～2015年鐵路客運量的灰色Verhulst預(yù)測式

最后，根據(jù)灰色GM(1，1)和灰色Verhulst預(yù)測式分別計算甘肅省2004年～2015年鐵路客運量的預(yù)測值，并將此兩種模型的預(yù)測結(jié)果進行對比，如表2所示。其中，誤差幅度(記為εt)計算公式為

i=1，2，…，m;t=1，2，…，n

(25)

表2 2005年～2015年兩種預(yù)測方法結(jié)果對比

2.2 基于熵值法確定權(quán)系數(shù)的組合預(yù)測模型

在運用以上兩種單一預(yù)測模型計算出預(yù)測擬合值后，根據(jù)熵值法的原理，利用式(17)～式(20)來確定兩種單一預(yù)測模型的組合權(quán)系數(shù)，即得到的權(quán)系數(shù)向量為

ω=(0.689 3， 0.310 7)

從而得到相應(yīng)的熵值法組合模型為

2.3 不同預(yù)測方法的精度比較

以預(yù)測值的平均相對誤差作為衡量預(yù)測精度的指標(biāo)，來比較各種預(yù)測模型的預(yù)測準(zhǔn)確性。即通過分別計算兩種單一預(yù)測模型和熵權(quán)法組合模型的平均相對誤差，結(jié)果見表3，可以得出，熵值法組合預(yù)測模型精度明顯高于兩種單一預(yù)測模型的精度。其中，預(yù)測平均相對誤差公式[1]為

同時，為更加直觀地反映出該4種模型得出的模擬值與實際值的對比情況，繪制出圖1加以說明。

表3 3種預(yù)測方法的平均相對誤差

圖1 3種預(yù)測模型擬合曲線

下面將運用Markov鏈方法對熵權(quán)法灰色組合模型的預(yù)測值進行修正。

2.4 Markov鏈方法對預(yù)測值進行修正

根據(jù)式(22)～式(24)Markov鏈分析方法的實際情況，同時對比年實際鐵路客運量的數(shù)值，將熵權(quán)法灰色組合模型的預(yù)測結(jié)果劃分為3種狀態(tài)。

狀態(tài)1 呈現(xiàn)預(yù)測高估狀態(tài)，即殘差(實際值減去預(yù)測值的差)占實際客運量的比例小于-15%、大于-5%。在12年之中僅有5年(2005、2006、2012、2013、2014年)呈現(xiàn)這種狀態(tài)。

狀態(tài)2 預(yù)測評估較為準(zhǔn)確，即殘差占實際客運量的比例在-5%～5%，可以稱之為正常狀態(tài)，在12年之中僅有2年(2007年、2015年)呈現(xiàn)這種狀態(tài)。

狀態(tài)3 呈現(xiàn)預(yù)測低估狀態(tài)，即評估殘差占實際客運量的比例在5%～15%。在12年中有5年(2008年～2011年、2016年)呈現(xiàn)出這種狀態(tài)。

根據(jù)以上分類標(biāo)準(zhǔn)，可獲得2005年～2015年各狀態(tài)出現(xiàn)的情況，如表4所示。

然后，根據(jù)式(22)可得其一步轉(zhuǎn)移頻數(shù)矩陣M，從而構(gòu)造出一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣P(1)，即

同理，依次得出

P(n)=(P(1))n

表4 2005年～2015年組合模型的預(yù)測值及狀態(tài)分類

根據(jù)馬爾可夫鏈修正原理，在得到熵權(quán)法組合預(yù)測模型的預(yù)測值及狀態(tài)劃分之后，可由此推算出未來6年(2016年～2021年)的預(yù)測狀態(tài)向量，如表5所示。

由表5可得，利用組合預(yù)測模型所得2016年、2017年的預(yù)測客運量分別為3 292萬人和3 572萬人，而查閱甘肅統(tǒng)計年鑒該兩年的甘肅鐵路實際客運量分別為3 353萬人和3 604萬人。通過兩者對比發(fā)現(xiàn)，單一預(yù)測結(jié)果略微偏低，而與表5中預(yù)測年度的概率最大的狀態(tài)均為一般狀態(tài)(E2)的預(yù)測區(qū)間結(jié)果完全吻合，即2016年和2017年客運量分別為[3 128.335 8，3 457.634 4)和[3 393.486 5，3 750.695 6)，進一步驗證了預(yù)測結(jié)果的準(zhǔn)確性。同時，也表明在未來的4年內(nèi)甘肅省鐵路客運量將呈逐漸上升趨勢，預(yù)測年度的概率最大的狀態(tài)均為正常狀態(tài)(E2)，最大的可能概率分別為80%、69%、62.95%、59.62%、57.79%、56.79%；其次的概率最大的是低估狀態(tài)(E3)，即實際發(fā)生值會高于由灰色模型預(yù)測結(jié)果區(qū)間，其概率分別為20%、31%、37.05%、40.38%、42.21%、43.21%，而預(yù)測高估狀態(tài)(E1)的概率卻為0%。因此，從總體上來講，由灰色預(yù)測得到的結(jié)論往往會偏低于甘肅省的實際鐵路客運量，即預(yù)測未來幾年內(nèi)甘肅省鐵路客運市場會向更加興旺的方向發(fā)展。事實證明，對于鐵路運量的預(yù)測問題來說，Markov鏈修正的熵權(quán)法灰色組合預(yù)測方法更加有助于鐵路部門對未來客運量發(fā)展趨勢作出判斷。

表5 2016年～2021年基于Markov鏈方法修正的預(yù)測結(jié)果

3 結(jié)論

通過對Markov鏈修正的熵權(quán)法灰色組合預(yù)測模型的研究，為改進預(yù)測模型的研究又提供了一種可行的思路，并得出如下結(jié)論。

(1)該方法的適用對象數(shù)據(jù)必須同時滿足灰色GM(1，1)模型和Verhulst模型兩種單一預(yù)測方法的要求，即既要滿足灰色系統(tǒng)的范疇，多為離散時間序列，又要具有無后效性的特征。

(2)根據(jù)GM(1，1)和Verhulst兩種單一預(yù)測方法所得的相對誤差變異程度，運用信息熵理論確定各自的權(quán)系數(shù)，并對兩種方法進行集成，能有效地提高預(yù)測精度。

(3)采用Markov鏈方法對熵值法灰色組合預(yù)測方法的擬合值進行修正，既能實現(xiàn)將預(yù)測結(jié)果由一個單一的粗糙數(shù)值修正成為預(yù)測年份的客運量區(qū)間，同時還能有效地估算出該區(qū)間產(chǎn)生的概率情況。

(4)根據(jù)預(yù)測中值和最大狀態(tài)概率，推算和把握未來幾年內(nèi)經(jīng)濟現(xiàn)象的總體發(fā)展趨勢，為決策者的經(jīng)濟行為提供重要的依據(jù)。