學習數學概念的助學策略

江蘇省徐州市邳州市陳樓中學 王 聞

教材中的許多概念、法則、約定是直接給出的，缺少了概念的生成過程，掩蓋了概念的自然性、合理性.許多數學教師對數學概念教學重視程度不夠，處理概念教學時往往敷衍了事，或者讓學生死記硬背，違背了教材的意圖，也違背了新課程標準，不利于培養學生的數學學科核心素養.筆者認為，教師要在正確診斷學情的基礎上，進一步研究教學方法和學生的學習方法，通過助學策略引導學生自然地經歷數學概念、法則的生成過程，體驗數學概念、法則的合理性.筆者結合自己的教學、觀課等實踐，談談在充分理解數學的基礎上改進數學概念、法則的教學策略.

一、運用類比遷移，揭示內涵生成概念

數學的發展史告訴我們許多概念具有相似的特性.對于這些概念的教學，教師可先引領學生復習已學過的同類概念的內涵、外延及特性，再運用類比遷移的思想生成新的概念.

案例1：二元一次方程的概念.

教師首先引導學生回憶一元一次方程的概念，并板書.然后提出下列問題.

問題1：判斷下列方程是否是一元一次方程，并說明理由.

（1）3x+2=5；（2）2x+y=7；（3）x=1；（4）=5；（5）x-6y=9；（6）x2-2x-3=0.

學生一般會回答（1）（3）是，（2）（4）（5）（6）不是.

教師緊接著提出問題：（4）（6）為什么不是？

學生會回答一元一次方程是整式方程，故（4）不是；（6）中未知數的最高次數是2，不是1，故不是.

教師圈出（2）（5），再次提出問題：（2）（5）為什么不是一元一次方程？它們有什么特點呢？聰明的你能給它取一個名字嗎？

有了熟悉的概念作為鋪墊，學生很快會發現二元一次方程的特點.此時，教師再讓學生觀察（7）+y=8和（8）x2-3y=7是不是二元一次方程.有的學生會說是，有的學生會說不是，在討論交流后會形成統一觀點：類比（4）=5不是一元一次方程，因為它不是整式方程，所以（7）+y=8不是二元一次方程，同樣因為它不是整式方程；類比（6）x2-2x-3=0不是一元一次方程，因為未知數的最高次數是2，不是1，所以（8）x2-3y=7不是二元一次方程，同樣因為未知數的最高次數是2，不是1.

問題2：類比一元一次方程，你能說一說什么叫二元一次方程嗎？它有什么特點呢？

問題3：一元一次方程與二元一次方程有什么共同特征？

于是，二元一次方程的概念水到渠成.

章建躍老師說：“對同類概念進行對比，可概括共同屬性.”所以說數學概念教學的核心就是“概括”，也就是說教師要把凝結在數學概念中的思維活動打開，以若干典型的具體事例為范例，引領學生學會分析各事例的屬性、抽象概括其共同的本質屬性，從而歸納得出數學概念，領悟數學概念的核心本質.通過同類概念的共同屬性引領學生認識概念、感悟概念，進而學會運用類比遷移的思想方法解決問題，提升學生的觀察能力、分析能力、概括總結能力、應用能力和發散思維能力.

在復習了一元一次方程概念的內涵之后，再讓學生運用類比遷移的思想方法學習二元一次方程的概念，然后讓學生感悟概念的外延，從而幫助學生明確二元一次方程今后的學習方向、研究方法和研究內容，又可以引領學生把方程知識系統化學習，有利于方程知識體系的構建.教學中教師通過復習已經學習過的相似的數學概念為背景的習題，引導學生運用類比遷移的思想方法獲得新的發現，再嘗試著給新概念下定義，這種做法順理成章，易于學生接受，學生很容易體驗數學概念生成的自然性.

二、遵循認知規律，展示聯系生成概念

教師教學應該以學生的認知發展水平和已有的經驗為基礎，面向全體學生，注重啟發式教學和因材施教.有效的教學是引導學生、激發學生自主學習，幫助學生通過自己的思考建立起對數學的理解，構建和發展數學概念，使學生深入學習，獲得概念的發生、發展過程，認識概念的本質.

案例2：開平方的概念.

在蘇科版八年級上冊教科書中，教材設計一課時同時學習開平方和平方根的概念，學生很難理解這兩個概念.許多學生初中畢業了還沒搞清楚開平方的含義，就更別說平方根的概念了.這就需要教師挖掘概念生成的規律，設計適合學生的有效助學設計幫助學生探究開平方概念的內涵.

首先讓學生回憶舊知：

問題1：先填空，后觀察思考，你能發現什么？

（1）（-1）2=（ ），（+1）2=（ ），（ ）2=1；

（2）（-2）2=（ ），（+2）2=（ ），（ ）2=4；

（4）（-0.2）2=（ ），（+0.2）2=（ ），（ ）2=0.04.

學生很快會回憶平方的運算，并能總結出互為相反數的數平方值相等.教師再追問：

（5）（ ）2=0.

到這里，學生就能完全回憶舊知：平方相等的數有兩個，且互為相反數；0的平方等于0.

問題2：若x2=1，則x=______，這里從第一個等式到第二個等式的過程叫開平方.即1開平方的結果是______.

由等式x2=9得到等式x=______的過程也叫開平方.即9開平方的結果是______.

聰明的你能說出0開平方是多少嗎？

問題3：有平方得負數的數嗎？為什么？

問題4：下列各數能開平方嗎？如果能，請說出開平方的結果；如果不能，請說明理由.

到這里，我們可以看到：如果教師能降低學生的學習起點，從學生熟悉的事例出發，先讓學生理解平方與開平方的聯系，再生成平方根的概念就水到渠成了.

學生獲得一個數學概念的過程先要從具體的、直觀的、熟悉的情境引入，再引領學生建立抽象的思考過程，從而滲透抽象思維，歸納出數學概念的本質.

因此，數學概念的形成過程就是以學生的直接經驗為基礎，運用學生熟悉的、具體的、直觀的情境探索，用歸納的方式抽取出一類事例的共同屬性，進而加深對數學概念的理解.

三、通過實驗操作，探究分析生成概念

董林偉老師說：“直觀和具體是理解數學概念的重要方式和手段，教學中我們可以設計生動形象的數學實驗解釋抽象的數學理論，讓學生真正理解數學概念的本質意義，增強概括抽象能力.”通過數學實驗操作，學生能直觀、具體地感受到數學概念的產生過程，體驗概念生成的自然性、合理性.

案例3：有理數的加法法則.

有理數的加法法則非常抽象，又蘊含著分類討論的數學思想，可以借助“筆尖在數軸上的移動”的實驗活動來幫助學生建立有理數的加法法則，也可以讓學生利用正負數的意義在南北方向或東西方向運動的實驗來歸納總結有理數的加法法則，感悟有理數加法的意義.規定向北為正，向南為負，讓一名學生在教室的前面按南北方向走（步幅大小相同，實驗者走路的步幅盡量相同），其余學生記錄過程并計算結果.

（1）第1組實驗：讓學生從講臺中間先向北走3步，再向北走2步，此時他相對于出發點的位置為（+3）+（+2）=+5；讓學生從講臺中間先向南走3步，再向南走2步，此時他相對于出發點的位置為（-3）+（-2）=-5；讓學生從講臺中間先向南走5步，再向南走6步，此時他相對于出發點的位置為（-5）+（-6）=-11；再讓學生換一組數實驗并嘗試著從定“和的符號”和求“和的結果”的角度歸納總結.

（2）第2組實驗：讓學生從講臺中間先向北走3步，再向南走2步，此時他相對于出發點的位置為（+3）+（-2）=+1；讓學生從講臺中間先向北走3步，再向南走5步，此時他相對于出發點的位置為（+3）+（-5）=-2；讓學生從講臺中間先向北走3步，再向南走3步，此時他相對于出發點的位置為（+3）+（-3）=0；再讓學生換一組數實驗并嘗試著從定“和的符號”和求“和的結果”的角度歸納總結.

（3）第3組實驗：讓學生從講臺中間先向北走3步，再向北（南）走0步，此時他相對于出發點的位置為（+3）+0=+3；讓學生從講臺中間先向南走3步，再向北（南）走0步，此時他相對于出發點的位置為（-3）+0=-3；再讓學生換一組數實驗并嘗試著從定“和的符號”和求“和的結果”的角度歸納總結.

利用“在南北方向走路的實驗”，既可以幫助學生直觀地理解有理數的加法法則，又可以避免抽象語言帶來的理解上的困難，還能培養學生歸納概括的能力，又能滲透有理數的加法的意義，引領學生解決生活中的問題.

在實驗教學過程中，教師要讓學生在觀察、操作、探索、發現、歸納、概括等活動中完成數學法則的形成、建構和完善.

章建躍老師說：“課堂教學中，‘自然的過程’來源于數學知識發生、發展過程和學生認知過程的融合，具體表現為對數學概念、原理的不斷歸納和概括的過程.”因此，教師首先要充分理解數學，挖掘數學概念、法則形成過程中所蘊含的數學思想，在教學設計中，以問題為載體，通過設計有效的活動和助學策略引導，將凝結在數學概念中的數學思維活動打開，引導學生展開學習，使數學概念、法則的“生成”更加自然、更加合理.