關于引領學生深度學習的幾點做法

江蘇省南京市第十二初級中學 李正球

每次考試過后，總有教師埋怨：這個因式分解題平時都練過好幾次了，可還是有許多學生不會做或做錯！那個平面幾何對稱性問題，只是將作業題中圖形的位置改變了一下，怎么還是有好多人做不出！于是，教師往往懷疑學生的學習能力，甚至認為，有些學生根本不是學習的料兒，大有“朽木不可雕也”之嫌.于是問題來了，學生每天坐在教室里，說辛苦真的很辛苦，可辛苦之后卻收獲不大.難道他們真的不會學習？還是教師的引導出了問題？在筆者看來，學生如何學固然重要，但從教師教的角度看，教師的責任更大.學生出錯，往往是對課堂上所學的知識一知半解所致，要徹底改變這種想象，必須要讓學生學會深度學習.所謂數學深度學習，即要求學生真正感悟數學，領會數學，善于發現數學學科內部的規律，從而自覺地利用這些規律去解決數學問題.筆者認為，學生的深度學習，離不開教師的引領，脫離了教師引領，學生的學習只能浮于表面，既達不到廣度，更達不到深度.因此，教師教學中引導學生深度學習，應在知識的廣度上和深度上做足文章.

一、由點連線，構建知識的完整性

一知半解是學習的大忌，尤其是數學這門學科.產生這種現象的根本原因在于，學生所學的知識往往是孤立的、零散的，因而，考試時，不會把相關知識串聯起來.比如，見到矩形的四邊中點的連線是菱形，卻不知道等腰梯形的四邊中點的連線也是菱形.遇到相關問題，學生只會回憶以前有沒有遇到這道題，遇到的或許會做，沒有遇到的就自然不會做了.這種思維僵化的根本原因，是在學習中只能看見一道一道題，即一個一個點，卻看不到一個一個點背后的一條線，缺乏對知識的完整性與系統性的構建.因此，在初中數學教學中，教師要引導學生深度學習，首先應教會學生從每天做的題目出發，由點連線，構建知識的完整性.

比如，實數是初中數學的基石，初中數學的許多問題與實數有關，比如，研究一元二次方程的實數解，在實數范圍內因式分解，實數比大小問題等，這就要求學生從整體上認識實數.或許，有的教師認為，實數就是有理數與無理數的統稱，沒有必要大做文章.其實，這種看法高估了學生，有一次我問一名學生，π是什么數？他回答“π是3.14”.我接著問，3.14是什么數？他回答“是無限小數”.我再問“無限小數是有理數還是無理數”，他就猶豫了，想了很大一會兒，回答說“是有理數”.然后我又問“那π是有理數嗎”，他又猶豫了，還是旁邊一名學生回答得干脆——“π是無理數”.于是產生了一對矛盾：π是3.14，是有限小數，卻是無理數.這名學生的臉上一片茫然.而產生這種錯誤的認識的真正原因，其實是這名學生平時只看到一個一個數，卻沒有去關注數其實是個體系，于是會犯“一葉障目”或者“只見樹木不見森林”的錯誤.可見，引導學生建立知識體系是何等重要.

其實，初中數學的每一塊核心內容都是一個完整的知識體系，如實數體系，代數式體系，平面幾何體系，函數體系，方程體系，概率與統計體系等，教師應該引導學生從整體上把握住各體系的結構，由點連線，才能使學生深刻把握住課本知識.

二、由淺入深，鍛煉思維的深刻性

數學，是思維的體操.學習數學，可以讓人明智，因此，由淺入深，鍛煉思維的深刻性顯得尤為重要，而思維的深刻性，從來不是與生俱來的，需后天培養，需要教師引導.在數學課堂教學中，如果教師只注重知識的傳授，而不注重能力的培養，學生的思維往往只停留在表層，遇到稍有點難度的問題，他們往往或畏縮不前，或知難而退.因此，學生的深度學習，必須要有問題載體，需要教師對問題的預設.在數學課堂上，教師可以設計探究性問題，由淺入深，在系列問題的解決中，鍛煉學生思維的深刻性.問題應源于課本，但不囿于課本.

如一元二次方程的根與系數的關系，即韋達定理，無論是在中考還是未來的高考中，都有著廣泛的應用，這是培養學生思維深刻性的極好素材.在教學中，筆者設計了如下問題引導學生探究：

問題1：方程（1998x）2-1997×1999x-1=0的大根為a，方程x2+1998x-1999=0的小根為b，求a-b的值.（答案：a=1，b=-1999，a-b=2000）

問題2：已知a≥0，m2-2am+2=0，n2-2an+2=0，m≠n，求（m-1）2+（n-1）2的最小值.（答案：-2.提示：m、n是關于x的方程x2-2ax+2=0的兩個根，根據根與系數的關系可得m+n=2a，mn=2，將代數式用完全平方公式展開，再根據完全平方公式恒等變形為（m-1）2+（n-1）2=m2-2m+1+n2-2n+1=（m+n）2-2mn-2（m+n）+2，然后整體代入，根據代數式極值的算法得出答案）

問題3：已知方程2x2-9x+8=0，求作一個二次方程，使它的一個根為原方程兩根和的倒數，另一根為原方程兩根差的平方.（答案：36x2-161x+34=0）

問題4：設x2-px+q=0的兩實數根為α、β.

（1）求以α3、β3為兩根的一元二次方程；（答案：x2-p（p2-3q）x+q3=0）

（2）若以α3、β3為根的一元二次方程仍是x2-px+q=0，求所有這樣的一元二次方程.（答案：x2-2x+1=0，x2+2x+1=0，x2=0，x2-x=0，x2+x=0，x2-1=0）

問題來源于課本，問題的設計應從學生的認知水平出發.上面四個問題緊緊圍繞韋達定理，難度呈上升趨勢，可以讓學生的思維螺旋式上升，問題探究過程中，學生的思維完成質的飛躍.有道是，玉不琢，不成器；人不學，不知道.教師應充分相信學生，積極創設問題引導學生，才能讓學生的思維越走越遠.

四、由此及彼，助推思維的廣闊性

數學知識從來不是孤立存在的，無論是數學知識，還是數學方法，它們互相聯系，互相作用，才支撐起這個“數學大世界”，這一點必須讓學生明白，這其實也是辯證唯物主義的觀點，體現了科學的方法論.前面說到，教師在教學中，引導學生構建了各個知識體系，運用問題培養學生思維的深刻性，教師還應引導學生溝通各知識體系間的聯系，尤其是在解題方法的引導上，要打破常規，一題多解，代數問題幾何化，幾何問題代數化，引導學生從不同角度、不同側面審視數學問題，這樣才能使他們進入“廣闊的思維空間”.

例如，如圖1，過正方形ABCD的頂點C，任作一直線與AB、AD的延長線分別交于點E、F.求證：AE+AF≥4AB.

圖1

本題是“形”的問題，但直接從“形”入手較難解決，若將“形”轉化為“數”，則結論變為（AE+AF）2-4ABx×（AE+AF）≥0.則可聯想起一元二次方程根的判別式，從而把它轉化為“數”的問題來解決.對這類問題的探討，可以幫助學生溝通代數與幾何之間的聯系，幫助他們樹立科學的解題觀.

又如，已知實數x、y、z滿足x=6-y，z2=xy-9，求證：x=y.

本題本質上是個方程問題，可以將條件變形成x+y=6，xy=z2+9，于是引導學生將問題轉化為一元二次方程題，嘗試利用根的判別式加以解決.

證明：因為x+y=6，xy=z2+9，所以x、y是二次方程t2-6t+（z2+9）=0的兩個實根，于是這個方程的判別式Δ=36-4（z2+9）=-4z2≥0，即z2≤0.因z為實數，顯然應有z2≥0.要使兩式同時成立，只有z=0，從而Δ=0，故上述關于t的二次方程有等根，即x=y.

由此及彼，體現了數學思維的靈活性，更體現了數學思維的廣闊性.在學習中，學生的思維經常受阻或凝固，其實也無可厚非，只要教師積極引導他們及時調整思維角度，就可打通思維關節，將所謂的難題一網打盡.

引領學生深度學習，教師應注重教學的每一個細節.當深度學習既成為教師教學的一種常態，又成為學生學習的一種習慣時，學生的學習效率必然有一個質的變化，倘若如此，每次考試后，看到的必然是一張張笑臉，而教師的抱怨聲也將成為“過去式”.