理解數學：單元起始課教學設計的關鍵
——以“一元二次方程（第1課）”教學為例

☉江蘇省高郵市南海中學 冒琳琳

單元起始課（有些地區稱之為章節統領課）的教學研究在最近兩年得到一定的關注，不少教研活動中得到積極實施，因為這種課型沒有機械地執行教材，是從“照本宣科”走向“用教材教”，不同的老師或團隊研發的教學設計往往有很大的差異.筆者最近一段時間有機會在不同的教研活動現場，聽了三節一元二次方程的單元起始課，教學內容差異很大，本文簡要梳理出來，并跟進評析，供研討.

一、“一元二次方程（第1課）”同課異構的聽課記錄

說明：限于篇幅，我們只整理三節課中一些“顯著不同”的教學活動（片段）.

課例1：（片段）“一元二次方程（第1課）”開課階段

問題1：請同學們回憶：在七年級上學期，學習一元一次方程時主要有哪些內容？我們是如何研究一元一次方程的？

教學組織：學生稍微思考后在小組內先交流一下，然后選派一個學生代表小組發言，教師通過適時追問，引導學生回憶梳理出一元一次方程的概念、相關概念，解一元一次方程的步驟，等等.

接著教師利用PPT出示3個一元二次方程，請學生觀察：它們與一元一次方程有什么共同點？有什么不同點？未知數的個數和最高次數各是多少？

教學組織：學生觀察后交流，歸納出共同特征：①整式，②一元，③2次.進一步類比一元一次方程的定義，得出一元二次方程的定義：等號兩邊都是整式，只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的方程，叫作一元二次方程（教師適時板書，形成板書的主要內容）.

問題2：請同學們回憶：一次函數是如何學習的？一次函數的一般形式是什么？

教學組織：學生很快復習了一次函數的概念、一般形式y=kx+b（k、b為常數，且k不為0）.通過對一次函數的一般形式的回憶，引導學生去猜想一元二次方程的一般形式：

一般地，任何一個關于x的一元二次方程，整理成以下形式：ax2+bx+c=0（其中a、b、c為常數，且a不為0），我們把這種形式叫作一元二次方程的一般形式，其中ax2是二次項，a是二次項系數；bx是一次項，b是一次項系數；c是常數項.

聽課隨感：該課的開課階段有15分鐘左右在復習一元一次方程、一次函數的內容，師生對話或追問雖然比較多樣，課堂氛圍也比較熱烈，但是用在復習舊知上的時間偏長，且作為本課所學內容一元二次方程是直接給出的，缺少必要的問題情境，比如，解決一些實際問題過程中，列出一元二次方程，然后類比舊知定義新知，這樣的新知引出更有意義.

課例2：（片段）一元二次方程的情境創設

（課前練習）根據題意列出方程：

（1）設一個正方形的面積為100平方單位，求這個正方形的邊長.設邊長為a，可列方程為________________.

（2）兩數之差為3，且這兩個數之積為180，求這兩個數.設這兩個數中大數為k，可列方程為______________.

（3）某單位組織一次排球邀請賽，參賽的每兩隊之間都要比賽一場，根據場地和時間等條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽，比賽組織者應邀請多少個隊伍參加比賽？設邀請x個隊伍參賽，可列方程__________.

教學組織：上課時教師先組織學生訂正、講評“課前練習”，并安排學生把所列方程寫在黑板上，在歸納出概念之前，先安排學生復習已學過哪些類型的方程，并追問學生這些方程的定義，然后觀察黑板上所列方程，填寫“學案”上的空白.

（1）一元二次方程：只含有_____個未知數，并且未知數的最高次數是_____的____方程叫一元二次方程.

（2）一元二次方程的一般形式是_______________，其中_____是二次項，______是二次項系數；_______是一次項，______是一次項系數；______是常數項.

簡評：這種學案留白并不是“留白式學案”，而是限制學生思維的劣質學案，把學生的思路限制在這些所謂的標準框架之內，不利于學生自主發現、創造性思維的培養，是應該拋棄的學案設計方式.

接下來該課選配了不少訓練題，鞏固一元二次方程的概念及相關概念，多數都是常規的，其中有一道例題以題組形式呈現，摘記如下：

例（1）若（a-1）x2+ax-1=0是關于x的一元二次方程，那么a的取值范圍為______.

（2）已知關于x的方程（|a|-1）x2+（a-1）x-1=0.

①若是關于x的一元二次方程，求a的取值范圍.

②若是關于x的一元一次方程，求a的值.

（3）已知關于x的方程（a-1）x|a|+1+ax-1=0，當a為何值時，該方程是一元二次方程？

簡評：這是一道劣質題，人為制造麻煩，把一元二次方程的定義歪曲為了解這種無趣的習題，讓學生感受到處處是解題陷阱，不符合數學追求簡潔的文化價值.即使從解題角度來看，深刻理解一元二次方程的定義可以發現，之所以定義“一般形式”，是為了后續研究解法，研究公式法，研究根的判別式，研究根與系數的關系，而不是為了讓學生練習上述劣質題.作為一節公開課，教師及打磨團隊對這類習題處理集體“無知無畏”的認知狀態，讓人遺憾.

課例3：（片段）一元二次方程的定義生成與跟進訓練

課件出示問題：如何用一張長16cm、寬12cm的硬紙片做成一個底面積為96cm2的無蓋的長方體盒子？

教學組織：學生很快設出未知數，列出一元二次方程.教師繼續給出一個方程3x-2=15，問：這個方程同學們認識嗎？這是什么方程？一元一次方程是如何定義的？我們在七年級是如何研究一元一次方程的？比較一下這兩個方程的異同點，能不能根據你以往的學習經驗給這種新的方程取個名字？學生很快就說出“一元二次方程”，并且順利歸納出定義和一般形式，再跟進如下一些訓練問題.

（1）關于x的方程mx2+m=nx2-nx是不是一元二次方程？說明你判斷的依據.

（2）將下列方程化成一元二次方程的一般式，并說出各項及二次項、一次項的系數：

（x+1）2-2（x-1）2=6x-5；3x（x-1）=2（x+2）-4；（x+2）（x-4）=7.

簡要評析之后，教師快速推進，引導學生探究一元二次方程的解法.

教學組織：接下來我們就從x2-4=0來研究一元二次方程的解法，根據你的學習經驗，會解這個方程嗎？在學生回答的基礎上，教師介紹直接開平方法，并跟進追問：以上這題，你還有其他的解法嗎？學生想到了“平方差公式”，根據因式分解的知識和“如果兩個因式的積等于0，那么這兩個因式中至少有一個等于0；反之，如果兩個因式中有一個等于0，它們的積就等于0”，我們將方程化成兩個因式的乘積等于0，這種解法我們稱之為“因式分解法”.

教師適時出示練習：解方程②3x2-5x=0和③x2-2x-15=0.

學生很快用因式分解的方法完成了求解，教師組織學生歸納概括解一元二次方程的基本思想——降次.

簡評：這節課有較好的章節起始課的味道，開課階段簡單明了，直奔主題，師生共同定義并歸納了一元二次方程的概念、相關概念，用一組練習初步辨析之后進入解法探究，并且讓學生從不同方法感受到解一元二次方程的基本思想——降次，為后續深入、系統學習配方法提供了思想上的準備.

二、關于單元起始課教學的進一步思考

1.從理解數學出發構思單元起始課的教學立意

近年來，章建躍博士提出的“四個理解”（理解數學、理解教學、理解學生、理解技術）得到一線教師廣泛響應，在很多課例設計中可以看出體現“四個理解”的元素，在這“四個理解”中，章博士多次強調離開“理解數學”則后續無意義，所以單元起始課的教學研究也要加強在理解數學上的鉆研功夫.以一元二次方程為例，學生已學習了一元一次方程、一次函數、不等式組等知識，再到一元二次方程的學習，教師需要明辨這個新內容與此前所學內容的“同與不同”，在相同、相通之處可以快速推進，而在不同之處，慢下來、停下來，讓學生充分辨析，這樣就能明辨新知的重點與難點，找準教學用力點.

2.教學情境的創設要精選數學現實或生活現實

《義務教育數學課程標準（2011年版）》對之前過分重視生活現實引入新課進行了一定的糾偏，要求教師在新知引入環節注意平衡好生活現實、數學現實與其他學科現實.比如，基于理解數學的角度看一元二次方程，作為單元起始課，上面幾個課例中，課例3的處理相對比較合理，以一個簡明的生活情境引出一元二次方程，然后基于學生已有經驗快速推進學程，在歸納生成一元二次方程的定義及相關概念之后，引導學生從“數的開方”角度研究一元二次方程的解法，并讓學生初步感知了“降次”思想.這樣的單元起始課教學設計，自然、合理，重點突出，有的放矢，可操作性強，值得我們借鑒和實踐.