巧妙借助問題設計，提升二輪復習效益

江蘇省蘇州市吳江平望中學 李 婧

高三第二輪復習只是人為的一個定義，是一個模糊的概念，是在第一輪對高中數學基礎知識回顧與梳理的基礎上，全面開展的專題性復習.二輪復習的目的是進一步完善學生的知識體系與知識結構，并在此基礎上不斷總結破解數學問題的規律性方法，以及全面提升解決問題的能力等.二輪復習也為正式參加高考吹響號角，起到承前啟后的重要作用.在復習中，巧妙借助問題設計，點亮精彩課堂，有效提升復習效益.

一、借助問題設計，完善知識結構

借助問題設計，可以很好地對學生的基礎知識進行回顧、梳理、關聯、整合與綜合，形成知識網絡，完善知識結構，在一定程度上提高學生綜合應用數學知識解決數學問題的能力，舉一反三，靈活變通，縱橫捭闔，培養學生思維的發散性與靈活性.

例1 在△ABC中，三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，如果a，b，c成等差數列，則

借助問題設計，教師可以合理設計以下相關問題，讓學生參與思考并解答，逐步遞進，有效完善知識結構：

（1）如何采用常規方法來破解本題？

（2）為什么常用余弦定理來轉化？

（3）如何根據條件“a，b，c成等差數列”轉化得到“2b=a+c”，通過余弦定理的轉化來破解本題？

（4）如何采用特殊方法來破解本題？

（5）怎樣的已知條件才會導致破解此題能夠取特殊值法？

（6）對于題目條件“a，b，c成等差數列”，以及在三角形這一前提條件下可以選取怎樣的特殊值來加以破解？

……

精心設計恰當的問題，形成知識與方法的有效串連，搭起整個課堂思維框架，形成生態課堂，進而激發學生的主動參與與自主探究，完善知識結構，對提升學習興趣、拓展思維品質、發展各方面能力等都大有裨益.

二、借助問題設計，實現查漏補缺

借助問題設計，可以匯聚與問題相關的眾多知識點與方法技巧，在原有問題的基礎上進行有效發散，幫助學生構建相關知識之間的聯系與應用，有效查漏補缺，進而在一定程度上完善知識結構，對其他相關知識進行補充、反饋，培養學生思維的綜合性與完整性.

例2 （2019年上海卷8）已知數列{an}前n項和為Sn，且滿足Sn+an=2，則S5=______.

借助問題設計，教師可以設計下面一些相關問題，實現對數列部分知識的多角度涉及，實現查漏補缺：

（1）當n=1時，a1與S1的關系與值是怎樣的？

（2）數列{an}是一個等差數列還是一個等比數列？

（3）數列{an}的通項公式與前n項和公式又是怎樣的？

（4）已知數列{an}的前n項和為Sn，且滿足Sn+an=2，則an=______.

（5）已知數列{an}的前n項和為Sn，且滿足Sn+an=2，則Sn=______.

（6）已知Sn是數列{an}的前n項和，若Sn+an=2n（n∈N*），則log2（2a2-a1）（2a3-a2）…（2a100-a99）=______.

……

結合問題設計，從一個數列問題入手，涉及數列的定義、通項公式與前n項和公式、數列類型的判定、數列的應用等，全方位復習數列的相關問題，實現知識全面復習與梳理，有效查漏補缺，并不斷完善與提升.

三、借助問題設計，構建數學模型

借助問題設計，可以有效提高問題難度，涵蓋更多的基礎知識與基本方法，能夠使學生對問題有一個更為本質的清晰認識，并對相關問題的解決有一個更為深刻的認知.有效感悟，總結解題規律，構建數學模型，形成合理的解題思維模式，進而不斷提高學生分析問題、處理問題與解決問題的能力.

例3 （2019年全國卷Ⅰ文16）已知∠ACB=90°，P為平面ABC外一點，PC=2，點P到∠ACB兩邊AC，BC的距離均為那么點P到平面ABC的距離為______.

借助問題設計，從立體幾何問題入手，合理構建數學模型，利用空間幾何體的相關知識來轉化與破解，并在此基礎上進一步拓展，構建出以下相關問題：

（1）如何定義點到直線的距離，點到平面的距離？

（2）有哪些方法可以破解以上相關問題？

（3）已知∠ACB=90°，P為平面ABC外一點，PC=2，點P到平面ABC的距離為，則點P到∠ACB兩邊AC，BC的距離分別為______.

（4）已知∠ACB=90°，P為平面ABC外一點，點P到∠ACB兩邊AC，BC的距離均為點P到平面ABC的距離為，則PC=______.

（5）已知∠ACB=90°，P為平面ABC外一點，PC=m，點P到∠ACB兩邊AC，BC的距離均為那么點P到平面ABC的距離為______.

（6）已知∠ACB=60°，P為平面ABC外一點，PC=m，點P到∠ACB兩邊AC，BC的距離均為n（2n＞m），那么點P到平面ABC的距離為______.

……

通過問題設計，合理構建數學模型，利用空間幾何體的特征，并結合數形結合思想與空間想象能力來處理相關的問題，提升能力，拓展思維.

四、借助問題設計，領悟數學思想

借助問題設計，有效融合相關的數學知識，從不同的角度層層深入，逐步引導學生的思維滲透，進而實現學生思維能力的全面提升，從而自然而然地將化歸與轉化思想、分類與整合思想、數形結合思想等融入到分析問題、解決問題的過程中，有效領悟數學思想，提煉升華，武裝自我.

例4 （2017年全國卷Ⅱ文7；理5）設x，y滿足約束條件則z=2x+y的最小值是（ ）.

A.-15 B.-9 C.1 D.9

借助問題設計，通過簡單的線性規劃問題中的最值的求解，全面提升，可以設計與之相關的其他問題，真正理解與掌握該知識點，領悟數學思想：

（1）原約束條件下，則其表示的平面區域的面積為______.

（2）原約束條件下，則z=2x+y的最大值是（ ）.

A.15 B.12 C.9 D.6

A.-1 B.-2 C.1 D.2

（4）原約束條件下，若z=kx+y（k＞0）的最小值為-15，則實數k=______.

（6）原約束條件下，則z=（x+9）2+（y+5）2的最小值為______，最大值為______.

……

通過問題設計，把簡單的線性規劃問題加以合理整合，避免“題海戰術”，從而真正培養思維品質，領悟數學思想，拓展解題思維，提升解題能力，以不變應萬變.

借助問題設計，在解題過程中進行無形滲透，有意識地培養學生獲取有價值信息的意識和能力，進而進行數據分析、合理推理、正確運算，形成正確的數據表達與邏輯推理，達到正確解答問題的目的，從而使學生形成良好的思維品質與習慣，真正全面提升解題能力.

高三第二輪復習的主要任務是進一步熟悉與掌握數學知識體系與知識結構，夯實“三基”（基礎知識、基本方法和基本能力），在解題能力與解題技巧方面有所提升，形成綜合能力.而借助問題設計，可以有效改進高三第二輪復習的教學方式和方法，對提升二輪復習效益有很好的效果，真正提升能力，培養數學核心素養.F