對教材中點到直線的距離公式推導的建議

甘肅省蘭州市第十八中學 王立森

對高中數學中“點到直線的距離公式”的引入推導.人教版高級中學課本《平面解析幾何》全一冊（必修）第一章第1.10節中，用平面幾何和三角函數的知識推導出了點到直線的距離公式.這是一種“不經分析”而又難以想到的推導方法，其推導過程實際是很繁雜的.全日制普通高級中學教科書（必修）課本《數學》第二冊（上）§7.3節和現行普通高中課程標準試驗教科書《數學》（必修2）§3.3.3中都用平面幾何的知識（即作出三角形用等面積法）推導出了點到直線的距離公式，大家很容易想到這種方法，但推導過程也比較復雜.

這兩種方法的具體過程大家看看課本就知道，筆者想每個任課教師在教學中都深有感觸，特別是第二種新修訂的現行教材中的方法與新教材改革的發展方向對照并沒有多大改觀和新穎之處，有必要重新修訂.點到直線的距離公式在高中數學中是很重要的知識點，而在多年的教學中筆者感覺到學生只知道使用而不會推導、證明，有些學生甚至看不懂教材推理，因而對它的使用也很淡化.

筆者認為，平面解析幾何的性質是用代數方法來研究幾何問題的一門數學學科，而用代數方法研究幾何問題，運算量大是平面解析幾何的最大難點，教師講解困難、學生理解也困難.若用向量來推導點到直線的距離公式，則可以減少這種繁雜的代數運算，使學生容易理解和掌握，同時也符合現行教材改革的發展趨勢.下面談談自己的看法：

一、建議將教材§7.3節后的閱讀材料《向量與直線》變為教學內容

全日制普通高級中學教科書（必修）課本知識結構的銜接、編排相對比較合理，而現行普通高中課程標準試驗教科書的知識結構的銜接、編排不夠好.若系統調整教材知識結構，特別在向量的概念和應用上統一編寫一章，增加“直線的法向量”和“平面的法向量”的概念，可以解決平面幾何、空間立體幾何和平面解析幾何中的許多疑難問題.例如：將全日制普通高級中學教科書（必修）課本《數學》第二冊（上）§7.3節教材后的閱讀材料《向量與直線》加以編輯，突出直線“法向量”和直線的“點法式方程”作為正式教學內容放到教材§7.2節后，這樣變更的目的使學生明確直線的“法向量”是決定直線的一個重要因素，通過推理直線的“點法式方程”使學生懂得，可以從直線l的方程Ax+By+C=0中直接觀察得到向量n=（A，B）為直線l的一個法向量，為推理點到直線的距離公式奠定基礎.

二、直線法向量的概念和直線的點法式方程

若向量n與直線l垂直，則稱向量n為直線l的法向量.

圖1

如圖1，設直線l的法向量為n=（A，B）且經過點P0（x0，y0），則點P（x，y）在直線l上的充要條件是則有，因為，于是，直線l的點法式方程為A（x-x0）+B（y-y0）=0，即Ax+By-（Ax0+By0）=0，由此我們可以看出以直線一般式方程中的x、y項的系數為坐標的向量n=（A，B）是直線l的一個法向量.

三、用直線的法向量推理點到直線的距離公式

在平面直角坐標系中，如果已知某點P的坐標為（x0，y0），已知直線l的方程是Ax+By+C=0，如何用直線的法向量推理點到直線的距離公式呢？

圖2

已知直線l的法向量為n=（A，B），如圖2，在直線l上任意取一點M（x′，y′），則向量的坐標為（x0-x′，y0-y′）.因為點P到直線l的距離d為向量在直線l的法向量n上的投影，設向量與n的夾角為，那么有：

因為點M（x′，y′）在直線Ax+By+C=0上，則Ax′+By′+C=0，C=-（Ax′+By′），那么

如果A=0或者B=0時，上述公式仍然適用，于是得到點到直線的距離公式：

這個推導過程與教材的推導相比容易多了，思維方法簡單、易懂，注重了向量的學習和應用，經過幾屆學生的教學實踐，效果很好，同時激發了同學們的學習興趣.因此，建議新課程教材改革能按這個推導過程改編.W