尋根究源，還原本“意”
——一道圓錐曲線試題的命題背景探索

江蘇省海門中學 李乃洋

圓錐曲線問題在高考或者競賽初賽試題中出現頻率較高，究其原因是其豐富的幾何特性與其解法的無窮魅力.在解決問題時，有時我們還需更多思考命題者的命題源頭或者背景是什么，往往在一番探索之后，會對圓錐曲線理解更深一層.最近筆者在解決一道數學初賽試題時，嘗試思考出題人出于何種命題的“依據”，于是帶著這個思考做了如下探索.

一、試題呈現

二、解法探究

方案一：利用直線的參數方程簡化計算.

解法1：因為焦點F（c，0），設直線l的傾斜角為α，則直線l的參數方程為（t為參數），且A，B對應的參數分別為t1，t2，將直線的參數方程代入雙曲線的方程得：

化簡為（c2cos2α-a2）t2+（2b2ccosα）t+b4=0，

因為｜OF｜｜AB｜=｜FA｜｜FB｜，所以c｜t1-t2｜=｜t1｜t2｜，將上述結果代入化簡得2ac=b2，依據雙曲線中b2=c2-a2，可知e2-2e-1=0，又e＞1，所以e=

方案二：利用雙曲線的極坐標方程簡化計算.

解法2：以雙曲線的右焦點F為極點，x軸正方向為極軸建立極坐標系，則雙曲線的右支方程為（ρ＞0），左支方程為，其中p為該焦點到對應準線的距離（焦準距）.如下圖（考慮兩種情形）

圖1-1

圖1-2

（1）在圖1-1中，交點位于右側同支，設點A（ρ，θ），則

（2）在圖1-2中，如果交點位于兩側不同支，如交點A在右支，而B在左支，則（此時e2cosθ2＞1）.

代入｜OF｜｜AB｜=｜FA｜｜FB｜得：

以下同解法1，結果可知e2-2e-1=0，又e＞1，所以e=

解法反思：上述解法均是建立在圓錐曲線中焦半徑不同表示方式基礎之上，依據圓錐曲線第二定義（統一定義）解題.試題中條件“|OF|·|AB|=|FA|·|FB|”包含了焦半徑｜FA｜，｜FB｜，以及焦點弦長｜AB｜和半焦距｜OF｜這些幾何量，探究其與曲線離心率e的數量關系，自然讓我們思考試題命制的背景是什么？

三、試題背景

事實上，對于等式｜OF｜AB｜=｜FA｜｜FB｜做一變形，即｜OF｜·（｜FA｜+｜FB｜）=｜FA｜·｜FB｜可得而對于表達式，其含義我們熟悉表示圓錐曲線共線焦半徑的倒數和，通常其和為定值為焦準距，e為離心率），于是我們以拋物線為例論證其關系（焦點在x正半軸，如圖2）.

圖2

結論1：已知拋物線頂點在坐標原點，焦點F在x正半軸上，過焦點F的直線交拋物線于點A，B，則

類比拋物線，我們也可以得到橢圓中結論.

（證明略）

一般在圓錐曲線中，很多性質具有統一性，自然思考上述結論在雙曲線中是否成立？在解法2中，事實上我們已經得到如下兩種情形：

比較三種圓錐曲線上述結論形式，我們一定思考，如何將具有和諧統一的圓錐曲線結論統一，于是從產生異化的雙曲線入手，其實，但是要考慮拋物線的離心率e=1，故我們可以把上述關系再整理，得到

定理：已知焦點在x軸上的圓錐曲線（中心在坐標原點），過x正半軸上的焦點F的直線l與曲線交于不同兩點A，B，焦準距為p，離心率為e，則焦點弦長｜AB｜與焦半徑 ｜FA｜，｜FB｜滿足關系

由上述定理，不難發現開頭這道試題的命題背景即為探索圓錐曲線中焦點弦與焦半徑之間的關系，利用圓錐曲線的統一定義我們可以有多種解法，但基于雙曲線的兩支情形，需要關注焦點弦的特殊性，在文1等文獻中，都出現了在圓錐曲線中這種定值結論，但對于雙曲線來說，過焦點的直線形成的兩個焦半徑倒數和是不確定的（只有焦點F內分線段AB時，結論正確）.基于上述分析，再結合極坐標方程，我們容易得到如下推論.

推論1：已知焦點在x軸上的圓錐曲線（中心在坐標原點），過x正半軸上的焦點F的直線l與曲線交于不同的兩點A，B，圓錐曲線的離心率為e，焦點到對應準線距離為p.若直線的傾斜角為θ，則焦點弦長公式為｜AB｜=

推論2：已知焦點在x軸上的圓錐曲線（中心在坐標原點），過x正半軸上的焦點F的直線l與曲線交于不同兩點A，B，圓錐曲線的離心率為e，焦點到對應準線距離為p.若則焦點弦長公式為

且由圓錐曲線極坐標公式（雙曲線兩支符號不同），可得，推論1得證.

四、結束語

通過對一道試題的探究，我們發現了圓錐曲線中一共性性質，并通過解法探究及結論的論證，進一步理解解析幾何的核心“用代數的方法研究幾何問題”，這正是我們解決問題需要掌握的策略，也是命題者更深的用“意”.數學家哈爾斯說過“問題是數學的心臟”，在平時解題中我們要養成“提出問題、發現問題、分析問題，解決問題”的研究手段，提升讀懂、理解數學命題的能力.